Ratkaise 2x+6/3=x^2

$$\frac{ 2x+6 }{ 3 } = { x }^{ 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{19} + 1}{3} \approx 1,786299648$$

$$x=\frac{1-\sqrt{19}}{3}\approx -1,119632981$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 3.

$$2x+6=3x^{2}$$

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$2x+6-3x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-3x^{2}+2x+6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -3, b luvulla 2 ja c luvulla 6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)\times 6}}{2\left(-3\right)}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)\times 6}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro -4 ja -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12\times 6}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 12 ja 6.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+72}}{2\left(-3\right)}$$

Lisää 4 lukuun 72.

$$x=\frac{-2±\sqrt{76}}{2\left(-3\right)}$$

Ota luvun 76 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{19}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 2 ja -3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{19}}{-6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{19}}{-6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2\sqrt{19}.

$$x=\frac{2\sqrt{19}-2}{-6}$$

Jaa -2+2\sqrt{19} luvulla -6.

$$x=\frac{1-\sqrt{19}}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{19}}{-6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{19} luvusta -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{19}-2}{-6}$$

Jaa -2-2\sqrt{19} luvulla -6.

$$x=\frac{\sqrt{19}+1}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1-\sqrt{19}}{3} x=\frac{\sqrt{19}+1}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 3.

$$2x+6=3x^{2}$$

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$2x+6-3x^{2}=0$$

Vähennä 6 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$2x-3x^{2}=-6$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+2x=-6$$

Jaa molemmat puolet luvulla -3.

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=-\frac{6}{-3}$$

Jakaminen luvulla -3 kumoaa kertomisen luvulla -3.

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=-\frac{6}{-3}$$

Jaa 2 luvulla -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{6}{-3}$$

Jaa -6 luvulla -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=2$$

Jaa -\frac{2}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{3}. Lisää sitten -\frac{1}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=2+\frac{1}{9}$$

Lisää 2 lukuun \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{19}{9}$$

Jaa x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{19}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{9}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{19}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{19}}{3}$$

Lisää \frac{1}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{19}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{19}}{3}$$