Ratkaise 2x/x-8+3x/x+5-51/6=5

$$\frac{ 2x }{ x-8 } + \frac{ 3x }{ x+5 } - 5 \frac { 1 } { 6 } =5$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{312361} + 99}{62} \approx 10,611171858$$

$$x=\frac{99-\sqrt{312361}}{62}\approx -7,41762347$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -5,8, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 6\left(x-8\right)\left(x+5\right), joka on lukujen x-8,x+5,6 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(6x+30\right)\times 2x+\left(6x-48\right)\times 3x-\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(5\times 6+1\right)=30\left(x-8\right)\left(x+5\right)$$

Laske lukujen 6x+30 ja 2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\left(12x+60\right)x+\left(6x-48\right)\times 3x-\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(5\times 6+1\right)=30\left(x-8\right)\left(x+5\right)$$

Laske lukujen 12x+60 ja x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$12x^{2}+60x+\left(6x-48\right)\times 3x-\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(5\times 6+1\right)=30\left(x-8\right)\left(x+5\right)$$

Laske lukujen 6x-48 ja 3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$12x^{2}+60x+\left(18x-144\right)x-\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(5\times 6+1\right)=30\left(x-8\right)\left(x+5\right)$$

Laske lukujen 18x-144 ja x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$12x^{2}+60x+18x^{2}-144x-\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(5\times 6+1\right)=30\left(x-8\right)\left(x+5\right)$$

Selvitä 30x^{2} yhdistämällä 12x^{2} ja 18x^{2}.

$$30x^{2}+60x-144x-\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(5\times 6+1\right)=30\left(x-8\right)\left(x+5\right)$$

Selvitä -84x yhdistämällä 60x ja -144x.

$$30x^{2}-84x-\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(5\times 6+1\right)=30\left(x-8\right)\left(x+5\right)$$

Kerro 5 ja 6, niin saadaan 30.

$$30x^{2}-84x-\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(30+1\right)=30\left(x-8\right)\left(x+5\right)$$

Selvitä 31 laskemalla yhteen 30 ja 1.

$$30x^{2}-84x-\left(x-8\right)\left(x+5\right)\times 31=30\left(x-8\right)\left(x+5\right)$$

Laske lukujen x-8 ja x+5 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$30x^{2}-84x-\left(x^{2}-3x-40\right)\times 31=30\left(x-8\right)\left(x+5\right)$$

Laske lukujen x^{2}-3x-40 ja 31 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$30x^{2}-84x-\left(31x^{2}-93x-1240\right)=30\left(x-8\right)\left(x+5\right)$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen 31x^{2}-93x-1240 vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$30x^{2}-84x-31x^{2}+93x+1240=30\left(x-8\right)\left(x+5\right)$$

Selvitä -x^{2} yhdistämällä 30x^{2} ja -31x^{2}.

$$-x^{2}-84x+93x+1240=30\left(x-8\right)\left(x+5\right)$$

Selvitä 9x yhdistämällä -84x ja 93x.

$$-x^{2}+9x+1240=30\left(x-8\right)\left(x+5\right)$$

Laske lukujen 30 ja x-8 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$-x^{2}+9x+1240=\left(30x-240\right)\left(x+5\right)$$

Laske lukujen 30x-240 ja x+5 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$-x^{2}+9x+1240=30x^{2}-90x-1200$$

Vähennä 30x^{2} molemmilta puolilta.

$$-x^{2}+9x+1240-30x^{2}=-90x-1200$$

Selvitä -31x^{2} yhdistämällä -x^{2} ja -30x^{2}.

$$-31x^{2}+9x+1240=-90x-1200$$

Lisää 90x molemmille puolille.

$$-31x^{2}+9x+1240+90x=-1200$$

Selvitä 99x yhdistämällä 9x ja 90x.

$$-31x^{2}+99x+1240=-1200$$

Lisää 1200 molemmille puolille.

$$-31x^{2}+99x+1240+1200=0$$

Selvitä 2440 laskemalla yhteen 1240 ja 1200.

$$-31x^{2}+99x+2440=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -31, b luvulla 99 ja c luvulla 2440 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-99±\sqrt{99^{2}-4\left(-31\right)\times 2440}}{2\left(-31\right)}$$

Korota 99 neliöön.

$$x=\frac{-99±\sqrt{9801-4\left(-31\right)\times 2440}}{2\left(-31\right)}$$

Kerro -4 ja -31.

$$x=\frac{-99±\sqrt{9801+124\times 2440}}{2\left(-31\right)}$$

Kerro 124 ja 2440.

$$x=\frac{-99±\sqrt{9801+302560}}{2\left(-31\right)}$$

Lisää 9801 lukuun 302560.

$$x=\frac{-99±\sqrt{312361}}{2\left(-31\right)}$$

Kerro 2 ja -31.

$$x=\frac{-99±\sqrt{312361}}{-62}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-99±\sqrt{312361}}{-62}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -99 lukuun \sqrt{312361}.

$$x=\frac{\sqrt{312361}-99}{-62}$$

Jaa -99+\sqrt{312361} luvulla -62.

$$x=\frac{99-\sqrt{312361}}{62}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-99±\sqrt{312361}}{-62}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{312361} luvusta -99.

$$x=\frac{-\sqrt{312361}-99}{-62}$$

Jaa -99-\sqrt{312361} luvulla -62.

$$x=\frac{\sqrt{312361}+99}{62}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{99-\sqrt{312361}}{62} x=\frac{\sqrt{312361}+99}{62}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -5,8, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 6\left(x-8\right)\left(x+5\right), joka on lukujen x-8,x+5,6 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(6x+30\right)\times 2x+\left(6x-48\right)\times 3x-\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(5\times 6+1\right)=30\left(x-8\right)\left(x+5\right)$$

Laske lukujen 6x+30 ja 2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\left(12x+60\right)x+\left(6x-48\right)\times 3x-\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(5\times 6+1\right)=30\left(x-8\right)\left(x+5\right)$$

Laske lukujen 12x+60 ja x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$12x^{2}+60x+\left(6x-48\right)\times 3x-\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(5\times 6+1\right)=30\left(x-8\right)\left(x+5\right)$$

Laske lukujen 6x-48 ja 3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$12x^{2}+60x+\left(18x-144\right)x-\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(5\times 6+1\right)=30\left(x-8\right)\left(x+5\right)$$

Laske lukujen 18x-144 ja x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$12x^{2}+60x+18x^{2}-144x-\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(5\times 6+1\right)=30\left(x-8\right)\left(x+5\right)$$

Selvitä 30x^{2} yhdistämällä 12x^{2} ja 18x^{2}.

$$30x^{2}+60x-144x-\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(5\times 6+1\right)=30\left(x-8\right)\left(x+5\right)$$

Selvitä -84x yhdistämällä 60x ja -144x.

$$30x^{2}-84x-\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(5\times 6+1\right)=30\left(x-8\right)\left(x+5\right)$$

Kerro 5 ja 6, niin saadaan 30.

$$30x^{2}-84x-\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(30+1\right)=30\left(x-8\right)\left(x+5\right)$$

Selvitä 31 laskemalla yhteen 30 ja 1.

$$30x^{2}-84x-\left(x-8\right)\left(x+5\right)\times 31=30\left(x-8\right)\left(x+5\right)$$

Laske lukujen x-8 ja x+5 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$30x^{2}-84x-\left(x^{2}-3x-40\right)\times 31=30\left(x-8\right)\left(x+5\right)$$

Laske lukujen x^{2}-3x-40 ja 31 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$30x^{2}-84x-\left(31x^{2}-93x-1240\right)=30\left(x-8\right)\left(x+5\right)$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen 31x^{2}-93x-1240 vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$30x^{2}-84x-31x^{2}+93x+1240=30\left(x-8\right)\left(x+5\right)$$

Selvitä -x^{2} yhdistämällä 30x^{2} ja -31x^{2}.

$$-x^{2}-84x+93x+1240=30\left(x-8\right)\left(x+5\right)$$

Selvitä 9x yhdistämällä -84x ja 93x.

$$-x^{2}+9x+1240=30\left(x-8\right)\left(x+5\right)$$

Laske lukujen 30 ja x-8 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$-x^{2}+9x+1240=\left(30x-240\right)\left(x+5\right)$$

Laske lukujen 30x-240 ja x+5 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$-x^{2}+9x+1240=30x^{2}-90x-1200$$

Vähennä 30x^{2} molemmilta puolilta.

$$-x^{2}+9x+1240-30x^{2}=-90x-1200$$

Selvitä -31x^{2} yhdistämällä -x^{2} ja -30x^{2}.

$$-31x^{2}+9x+1240=-90x-1200$$

Lisää 90x molemmille puolille.

$$-31x^{2}+9x+1240+90x=-1200$$

Selvitä 99x yhdistämällä 9x ja 90x.

$$-31x^{2}+99x+1240=-1200$$

Vähennä 1240 molemmilta puolilta.

$$-31x^{2}+99x=-1200-1240$$

Vähennä 1240 luvusta -1200 saadaksesi tuloksen -2440.

$$-31x^{2}+99x=-2440$$

Jaa molemmat puolet luvulla -31.

$$\frac{-31x^{2}+99x}{-31}=-\frac{2440}{-31}$$

Jakaminen luvulla -31 kumoaa kertomisen luvulla -31.

$$x^{2}+\frac{99}{-31}x=-\frac{2440}{-31}$$

Jaa 99 luvulla -31.

$$x^{2}-\frac{99}{31}x=-\frac{2440}{-31}$$

Jaa -2440 luvulla -31.

$$x^{2}-\frac{99}{31}x=\frac{2440}{31}$$

Jaa -\frac{99}{31} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{99}{62}. Lisää sitten -\frac{99}{62}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{99}{31}x+\left(-\frac{99}{62}\right)^{2}=\frac{2440}{31}+\left(-\frac{99}{62}\right)^{2}$$

Korota -\frac{99}{62} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{99}{31}x+\frac{9801}{3844}=\frac{2440}{31}+\frac{9801}{3844}$$

Lisää \frac{2440}{31} lukuun \frac{9801}{3844} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{99}{31}x+\frac{9801}{3844}=\frac{312361}{3844}$$

Jaa x^{2}-\frac{99}{31}x+\frac{9801}{3844} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{99}{62}\right)^{2}=\frac{312361}{3844}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{99}{62}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{312361}{3844}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{99}{62}=\frac{\sqrt{312361}}{62} x-\frac{99}{62}=-\frac{\sqrt{312361}}{62}$$

Lisää \frac{99}{62} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{312361}+99}{62} x=\frac{99-\sqrt{312361}}{62}$$