Ratkaise 2x/x-8+3x/x+5=51/6

$$\frac{ 2x }{ x-8 } + \frac{ 3x }{ x+5 } = 5 \frac { 1 } { 6 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-31$$

$$x=40$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -5,8, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 6\left(x-8\right)\left(x+5\right), joka on lukujen x-8,x+5,6 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(6x+30\right)\times 2x+\left(6x-48\right)\times 3x=\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(5\times 6+1\right)$$

Laske lukujen 6x+30 ja 2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\left(12x+60\right)x+\left(6x-48\right)\times 3x=\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(5\times 6+1\right)$$

Laske lukujen 12x+60 ja x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$12x^{2}+60x+\left(6x-48\right)\times 3x=\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(5\times 6+1\right)$$

Laske lukujen 6x-48 ja 3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$12x^{2}+60x+\left(18x-144\right)x=\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(5\times 6+1\right)$$

Laske lukujen 18x-144 ja x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$12x^{2}+60x+18x^{2}-144x=\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(5\times 6+1\right)$$

Selvitä 30x^{2} yhdistämällä 12x^{2} ja 18x^{2}.

$$30x^{2}+60x-144x=\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(5\times 6+1\right)$$

Selvitä -84x yhdistämällä 60x ja -144x.

$$30x^{2}-84x=\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(5\times 6+1\right)$$

Kerro 5 ja 6, niin saadaan 30.

$$30x^{2}-84x=\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(30+1\right)$$

Selvitä 31 laskemalla yhteen 30 ja 1.

$$30x^{2}-84x=\left(x-8\right)\left(x+5\right)\times 31$$

Laske lukujen x-8 ja x+5 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$30x^{2}-84x=\left(x^{2}-3x-40\right)\times 31$$

Laske lukujen x^{2}-3x-40 ja 31 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$30x^{2}-84x=31x^{2}-93x-1240$$

Vähennä 31x^{2} molemmilta puolilta.

$$30x^{2}-84x-31x^{2}=-93x-1240$$

Selvitä -x^{2} yhdistämällä 30x^{2} ja -31x^{2}.

$$-x^{2}-84x=-93x-1240$$

Lisää 93x molemmille puolille.

$$-x^{2}-84x+93x=-1240$$

Selvitä 9x yhdistämällä -84x ja 93x.

$$-x^{2}+9x=-1240$$

Lisää 1240 molemmille puolille.

$$-x^{2}+9x+1240=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 9 ja c luvulla 1240 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-1\right)\times 1240}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 9 neliöön.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-1\right)\times 1240}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+4\times 1240}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja 1240.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+4960}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 81 lukuun 4960.

$$x=\frac{-9±\sqrt{5041}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 5041 neliöjuuri.

$$x=\frac{-9±71}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-9±71}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±71}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -9 lukuun 71.

$$x=\frac{62}{-2}$$

Jaa 62 luvulla -2.

$$x=-31$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±71}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 71 luvusta -9.

$$x=-\frac{80}{-2}$$

Jaa -80 luvulla -2.

$$x=40$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-31 x=40$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -5,8, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 6\left(x-8\right)\left(x+5\right), joka on lukujen x-8,x+5,6 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(6x+30\right)\times 2x+\left(6x-48\right)\times 3x=\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(5\times 6+1\right)$$

Laske lukujen 6x+30 ja 2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\left(12x+60\right)x+\left(6x-48\right)\times 3x=\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(5\times 6+1\right)$$

Laske lukujen 12x+60 ja x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$12x^{2}+60x+\left(6x-48\right)\times 3x=\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(5\times 6+1\right)$$

Laske lukujen 6x-48 ja 3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$12x^{2}+60x+\left(18x-144\right)x=\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(5\times 6+1\right)$$

Laske lukujen 18x-144 ja x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$12x^{2}+60x+18x^{2}-144x=\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(5\times 6+1\right)$$

Selvitä 30x^{2} yhdistämällä 12x^{2} ja 18x^{2}.

$$30x^{2}+60x-144x=\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(5\times 6+1\right)$$

Selvitä -84x yhdistämällä 60x ja -144x.

$$30x^{2}-84x=\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(5\times 6+1\right)$$

Kerro 5 ja 6, niin saadaan 30.

$$30x^{2}-84x=\left(x-8\right)\left(x+5\right)\left(30+1\right)$$

Selvitä 31 laskemalla yhteen 30 ja 1.

$$30x^{2}-84x=\left(x-8\right)\left(x+5\right)\times 31$$

Laske lukujen x-8 ja x+5 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$30x^{2}-84x=\left(x^{2}-3x-40\right)\times 31$$

Laske lukujen x^{2}-3x-40 ja 31 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$30x^{2}-84x=31x^{2}-93x-1240$$

Vähennä 31x^{2} molemmilta puolilta.

$$30x^{2}-84x-31x^{2}=-93x-1240$$

Selvitä -x^{2} yhdistämällä 30x^{2} ja -31x^{2}.

$$-x^{2}-84x=-93x-1240$$

Lisää 93x molemmille puolille.

$$-x^{2}-84x+93x=-1240$$

Selvitä 9x yhdistämällä -84x ja 93x.

$$-x^{2}+9x=-1240$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+9x}{-1}=-\frac{1240}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{9}{-1}x=-\frac{1240}{-1}$$

Jaa 9 luvulla -1.

$$x^{2}-9x=-\frac{1240}{-1}$$

Jaa -1240 luvulla -1.

$$x^{2}-9x=1240$$

Jaa -9 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{2}. Lisää sitten -\frac{9}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=1240+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=1240+\frac{81}{4}$$

Lisää 1240 lukuun \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{5041}{4}$$

Jaa x^{2}-9x+\frac{81}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{5041}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5041}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{71}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{71}{2}$$

Lisää \frac{9}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=40 x=-31$$