Ratkaise 2x/x^2+x+1

$$\frac{ 2x }{ { x }^{ 2 } +x+1 }$$

Derivoi muuttujan x suhteen

$$\frac{2\left(1-x^{2}\right)}{\left(x^{2}+x+1\right)^{2}}$$

Vaiheet, joissa käytetään osamäärän derivaattasääntöä

Kun tarkastellaan kahta derivoituvaa funktiota, funktioiden osamäärän derivaatta on nimittäjä kertaa osoittajan derivaatta miinus osoittaja kertaa nimittäjän derivaatta ja tämä kaikki jaettuna nimittäjän neliöllä.

$$\frac{\left(x^{2}+x^{1}+1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{1})-2x^{1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}+x^{1}+1)}{\left(x^{2}+x^{1}+1\right)^{2}}$$

Polynomin derivaatta on sen termien derivaattojen summa. Vakiotermin derivaatta on 0. Lausekkeen ax^{n} derivaatta on nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}+x^{1}+1\right)\times 2x^{1-1}-2x^{1}\left(2x^{2-1}+x^{1-1}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}+1\right)^{2}}$$

Sievennä.

$$\frac{\left(x^{2}+x^{1}+1\right)\times 2x^{0}-2x^{1}\left(2x^{1}+x^{0}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}+1\right)^{2}}$$

Kerro x^{2}+x^{1}+1 ja 2x^{0}.

$$\frac{x^{2}\times 2x^{0}+x^{1}\times 2x^{0}+2x^{0}-2x^{1}\left(2x^{1}+x^{0}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}+1\right)^{2}}$$

Kerro 2x^{1} ja 2x^{1}+x^{0}.

$$\frac{x^{2}\times 2x^{0}+x^{1}\times 2x^{0}+2x^{0}-\left(2x^{1}\times 2x^{1}+2x^{1}x^{0}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}+1\right)^{2}}$$

Jos haluat kertoa samankantaiset potenssit, laske niiden eksponentit yhteen.

$$\frac{2x^{2}+2x^{1}+2x^{0}-\left(2\times 2x^{1+1}+2x^{1}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}+1\right)^{2}}$$

Sievennä.

$$\frac{2x^{2}+2x^{1}+2x^{0}-\left(4x^{2}+2x^{1}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}+1\right)^{2}}$$

Yhdistä samanmuotoiset termit.

$$\frac{-2x^{2}+2x^{0}}{\left(x^{2}+x^{1}+1\right)^{2}}$$

Mille tahansa termille t pätee t^{1}=t.

$$\frac{-2x^{2}+2x^{0}}{\left(x^{2}+x+1\right)^{2}}$$

Luvulle t, joka ei ole 0, pätee t^{0}=1.

$$\frac{-2x^{2}+2\times 1}{\left(x^{2}+x+1\right)^{2}}$$

Mille tahansa termille t pätee t\times 1=t ja 1t=t.

$$\frac{-2x^{2}+2}{\left(x^{2}+x+1\right)^{2}}$$

Laske

$$\frac{2x}{x^{2}+x+1}$$