Ratkaise 240/25+25sqrt{3i+10+sqrt{300}i}

$$\frac{ 240 }{ 25+25 \sqrt{ 3 } i+10+ \sqrt{ 300 } i }$$

Laske

$$\frac{48}{7\left(1+\sqrt{3}i\right)}\approx 1,714285714-2,969229956i$$

Ratkaisun vaiheet

Selvitä 35 laskemalla yhteen 25 ja 10.

$$\frac{240}{35+25i\sqrt{3}+i\sqrt{300}}$$

Jaa 300=10^{2}\times 3 tekijöihin. Kirjoita tuotteen neliö juuri \sqrt{10^{2}\times 3} neliö juuren tulo \sqrt{10^{2}}\sqrt{3}. Ota luvun 10^{2} neliöjuuri.

$$\frac{240}{35+25i\sqrt{3}+i\times 10\sqrt{3}}$$

Selvitä 35i\sqrt{3} yhdistämällä 25i\sqrt{3} ja 10i\sqrt{3}.

$$\frac{240}{35+35i\sqrt{3}}$$

Muunna rationaaliluvuksi nimittäjä \frac{240}{35+35i\sqrt{3}} kertomalla osoittaja ja nimittäjä 35-35i\sqrt{3}.

$$\frac{240\left(35-35i\sqrt{3}\right)}{\left(35+35i\sqrt{3}\right)\left(35-35i\sqrt{3}\right)}$$

Tarkastele lauseketta \left(35+35i\sqrt{3}\right)\left(35-35i\sqrt{3}\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{240\left(35-35i\sqrt{3}\right)}{35^{2}-\left(35i\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Laske 35 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 1225.

$$\frac{240\left(35-35i\sqrt{3}\right)}{1225-\left(35i\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Lavenna \left(35i\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{240\left(35-35i\sqrt{3}\right)}{1225-\left(35i\right)^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Laske 35i potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee -1225.

$$\frac{240\left(35-35i\sqrt{3}\right)}{1225-\left(-1225\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)}$$

Luvun \sqrt{3} neliö on 3.

$$\frac{240\left(35-35i\sqrt{3}\right)}{1225-\left(-1225\times 3\right)}$$

Kerro -1225 ja 3, niin saadaan -3675.

$$\frac{240\left(35-35i\sqrt{3}\right)}{1225-\left(-3675\right)}$$

Kerro -1 ja -3675, niin saadaan 3675.

$$\frac{240\left(35-35i\sqrt{3}\right)}{1225+3675}$$

Selvitä 4900 laskemalla yhteen 1225 ja 3675.

$$\frac{240\left(35-35i\sqrt{3}\right)}{4900}$$

Jaa 240\left(35-35i\sqrt{3}\right) luvulla 4900, jolloin ratkaisuksi tulee \frac{12}{245}\left(35-35i\sqrt{3}\right).

$$\frac{12}{245}\left(35-35i\sqrt{3}\right)$$

Laske lukujen \frac{12}{245} ja 35-35i\sqrt{3} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\frac{12}{245}\times 35+\frac{12}{245}\times \left(-35i\right)\sqrt{3}$$

Ilmaise \frac{12}{245}\times 35 säännöllisenä murtolukuna.

$$\frac{12\times 35}{245}+\frac{12}{245}\times \left(-35i\right)\sqrt{3}$$

Kerro 12 ja 35, niin saadaan 420.

$$\frac{420}{245}+\frac{12}{245}\times \left(-35i\right)\sqrt{3}$$

Supista murtoluku \frac{420}{245} luvulla 35.

$$\frac{12}{7}+\frac{12}{245}\times \left(-35i\right)\sqrt{3}$$

Kerro \frac{12}{245} ja -35i, niin saadaan -\frac{12}{7}i.

$$\frac{12}{7}-\frac{12}{7}i\sqrt{3}$$

Reaaliosa

$$240Re(\frac{1}{35\left(1+\sqrt{3}i\right)})$$