Ratkaise 20/x-5=60/x+5+1

$$\frac{ 20 }{ x-5 } = \frac{ 60 }{ x+5 } +1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=5\sqrt{33}-20\approx 8,722813233$$

$$x=-5\sqrt{33}-20\approx -48,722813233$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -5,5, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-5\right)\left(x+5\right), joka on lukujen x-5,x+5 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x+5\right)\times 20=\left(x-5\right)\times 60+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Laske lukujen x+5 ja 20 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$20x+100=\left(x-5\right)\times 60+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Laske lukujen x-5 ja 60 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$20x+100=60x-300+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Tarkastele lauseketta \left(x-5\right)\left(x+5\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Korota 5 neliöön.

$$20x+100=60x-300+x^{2}-25$$

Vähennä 25 luvusta -300 saadaksesi tuloksen -325.

$$20x+100=60x-325+x^{2}$$

Vähennä 60x molemmilta puolilta.

$$20x+100-60x=-325+x^{2}$$

Selvitä -40x yhdistämällä 20x ja -60x.

$$-40x+100=-325+x^{2}$$

Vähennä -325 molemmilta puolilta.

$$-40x+100-\left(-325\right)=x^{2}$$

Luvun -325 vastaluku on 325.

$$-40x+100+325=x^{2}$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$-40x+100+325-x^{2}=0$$

Selvitä 425 laskemalla yhteen 100 ja 325.

$$-40x+425-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}-40x+425=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla -40 ja c luvulla 425 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 425}}{2\left(-1\right)}$$

Korota -40 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\left(-1\right)\times 425}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+4\times 425}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja 425.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+1700}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 1600 lukuun 1700.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{3300}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 3300 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±10\sqrt{33}}{2\left(-1\right)}$$

Luvun -40 vastaluku on 40.

$$x=\frac{40±10\sqrt{33}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{40±10\sqrt{33}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{40±10\sqrt{33}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 40 lukuun 10\sqrt{33}.

$$x=\frac{10\sqrt{33}+40}{-2}$$

Jaa 40+10\sqrt{33} luvulla -2.

$$x=-5\sqrt{33}-20$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{40±10\sqrt{33}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 10\sqrt{33} luvusta 40.

$$x=\frac{40-10\sqrt{33}}{-2}$$

Jaa 40-10\sqrt{33} luvulla -2.

$$x=5\sqrt{33}-20$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-5\sqrt{33}-20 x=5\sqrt{33}-20$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -5,5, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-5\right)\left(x+5\right), joka on lukujen x-5,x+5 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x+5\right)\times 20=\left(x-5\right)\times 60+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Laske lukujen x+5 ja 20 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$20x+100=\left(x-5\right)\times 60+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Laske lukujen x-5 ja 60 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$20x+100=60x-300+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Tarkastele lauseketta \left(x-5\right)\left(x+5\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Korota 5 neliöön.

$$20x+100=60x-300+x^{2}-25$$

Vähennä 25 luvusta -300 saadaksesi tuloksen -325.

$$20x+100=60x-325+x^{2}$$

Vähennä 60x molemmilta puolilta.

$$20x+100-60x=-325+x^{2}$$

Selvitä -40x yhdistämällä 20x ja -60x.

$$-40x+100=-325+x^{2}$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$-40x+100-x^{2}=-325$$

Vähennä 100 molemmilta puolilta.

$$-40x-x^{2}=-325-100$$

Vähennä 100 luvusta -325 saadaksesi tuloksen -425.

$$-40x-x^{2}=-425$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-40x=-425$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}-40x}{-1}=-\frac{425}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{-1}\right)x=-\frac{425}{-1}$$

Jaa -40 luvulla -1.

$$x^{2}+40x=-\frac{425}{-1}$$

Jaa -425 luvulla -1.

$$x^{2}+40x=425$$

Jaa 40 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 20. Lisää sitten 20:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+40x+20^{2}=425+20^{2}$$

Korota 20 neliöön.

$$x^{2}+40x+400=425+400$$

Lisää 425 lukuun 400.

$$x^{2}+40x+400=825$$

Jaa x^{2}+40x+400 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+20\right)^{2}=825$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+20\right)^{2}}=\sqrt{825}$$

Sievennä.

$$x+20=5\sqrt{33} x+20=-5\sqrt{33}$$

Vähennä 20 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=5\sqrt{33}-20 x=-5\sqrt{33}-20$$