Ratkaise frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

Ratkaise muuttujan b suhteen

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

Juuriyhtälöiden ratkaisemisen vaiheet

Muunna rationaaliluvuksi nimittäjä \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} kertomalla osoittaja ja nimittäjä 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Tarkastele lauseketta \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Korota 2 neliöön. Korota \sqrt{5} neliöön.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Vähennä 5 luvusta 4 saadaksesi tuloksen -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Kerro 2+\sqrt{5} ja 2+\sqrt{5}, niin saadaan \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(2+\sqrt{5}\right)^{2} laajentamiseen.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Luvun \sqrt{5} neliö on 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Selvitä 9 laskemalla yhteen 4 ja 5.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Kaikki, mikä jaetaan luvulla -1, antaa vastakkaisen tuloksen. Jos haluat ratkaista lausekkeen 9+4\sqrt{5} vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Muunna rationaaliluvuksi nimittäjä \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} kertomalla osoittaja ja nimittäjä 2-\sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

Tarkastele lauseketta \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

Korota 2 neliöön. Korota \sqrt{5} neliöön.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

Vähennä 5 luvusta 4 saadaksesi tuloksen -1.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Kerro 2-\sqrt{5} ja 2-\sqrt{5}, niin saadaan \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(2-\sqrt{5}\right)^{2} laajentamiseen.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Luvun \sqrt{5} neliö on 5.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Selvitä 9 laskemalla yhteen 4 ja 5.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Kaikki, mikä jaetaan luvulla -1, antaa vastakkaisen tuloksen. Jos haluat ratkaista lausekkeen 9-4\sqrt{5} vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Vähennä 9 luvusta -9 saadaksesi tuloksen -18.

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Selvitä 0 yhdistämällä -4\sqrt{5} ja 4\sqrt{5}.

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

Vähennä a molemmilta puolilta.

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Ratkaise muuttujan a suhteen

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$