Ratkaise 2/x-3+3/x-2=3

$$\frac{ 2 }{ x-3 } + \frac{ 3 }{ x-2 } =3$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{7} + 10}{3} \approx 4,215250437$$

$$x = \frac{10 - \sqrt{7}}{3} \approx 2,45141623$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista 2,3, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-3\right)\left(x-2\right), joka on lukujen x-3,x-2 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Laske lukujen x-2 ja 2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Laske lukujen x-3 ja 3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Selvitä 5x yhdistämällä 2x ja 3x.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Vähennä 9 luvusta -4 saadaksesi tuloksen -13.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Laske lukujen 3 ja x-3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

Laske lukujen 3x-9 ja x-2 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Lisää 15x molemmille puolille.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

Selvitä 20x yhdistämällä 5x ja 15x.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Vähennä 18 molemmilta puolilta.

$$20x-13-3x^{2}-18=0$$

Vähennä 18 luvusta -13 saadaksesi tuloksen -31.

$$20x-31-3x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-3x^{2}+20x-31=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -3, b luvulla 20 ja c luvulla -31 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Korota 20 neliöön.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro -4 ja -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+12\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 12 ja -31.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-372}}{2\left(-3\right)}$$

Lisää 400 lukuun -372.

$$x=\frac{-20±\sqrt{28}}{2\left(-3\right)}$$

Ota luvun 28 neliöjuuri.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 2 ja -3.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -20 lukuun 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-20}{-6}$$

Jaa -20+2\sqrt{7} luvulla -6.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{7} luvusta -20.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-20}{-6}$$

Jaa -20-2\sqrt{7} luvulla -6.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3} x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista 2,3, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-3\right)\left(x-2\right), joka on lukujen x-3,x-2 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Laske lukujen x-2 ja 2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Laske lukujen x-3 ja 3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Selvitä 5x yhdistämällä 2x ja 3x.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Vähennä 9 luvusta -4 saadaksesi tuloksen -13.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Laske lukujen 3 ja x-3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

Laske lukujen 3x-9 ja x-2 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Lisää 15x molemmille puolille.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

Selvitä 20x yhdistämällä 5x ja 15x.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Lisää 13 molemmille puolille.

$$20x-3x^{2}=18+13$$

Selvitä 31 laskemalla yhteen 18 ja 13.

$$20x-3x^{2}=31$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+20x=31$$

Jaa molemmat puolet luvulla -3.

$$\frac{-3x^{2}+20x}{-3}=\frac{31}{-3}$$

Jakaminen luvulla -3 kumoaa kertomisen luvulla -3.

$$x^{2}+\frac{20}{-3}x=\frac{31}{-3}$$

Jaa 20 luvulla -3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=\frac{31}{-3}$$

Jaa 31 luvulla -3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{31}{3}$$

Jaa -\frac{20}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{10}{3}. Lisää sitten -\frac{10}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{31}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{10}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{31}{3}+\frac{100}{9}$$

Lisää -\frac{31}{3} lukuun \frac{100}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{7}{9}$$

Jaa x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Lisää \frac{10}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$