Ratkaise 2/x=4x+7/5x^2+1

$$\frac{ 2 }{ x } = \frac{ 4x+7 }{ 5 { x }^{ 2 } +1 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x\left(5x^{2}+1\right), joka on lukujen x,5x^{2}+1 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(5x^{2}+1\right)\times 2=x\left(4x+7\right)$$

Laske lukujen 5x^{2}+1 ja 2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$10x^{2}+2=x\left(4x+7\right)$$

Laske lukujen x ja 4x+7 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$10x^{2}+2=4x^{2}+7x$$

Vähennä 4x^{2} molemmilta puolilta.

$$10x^{2}+2-4x^{2}=7x$$

Selvitä 6x^{2} yhdistämällä 10x^{2} ja -4x^{2}.

$$6x^{2}+2=7x$$

Vähennä 7x molemmilta puolilta.

$$6x^{2}+2-7x=0$$

Järjestä polynomi perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$6x^{2}-7x+2=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 6x^{2}+ax+bx+2. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-7 ab=6\times 2=12$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -7.

$$a=-4 b=-3$$

Kirjoita \left(6x^{2}-4x\right)+\left(-3x+2\right) uudelleen muodossa 6x^{2}-7x+2.

$$\left(6x^{2}-4x\right)+\left(-3x+2\right)$$

Ota 2x tekijäksi ensimmäisessä ja -1 toisessa ryhmässä.

$$2x\left(3x-2\right)-\left(3x-2\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi 3x-2 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(3x-2\right)\left(2x-1\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt 3x-2=0 ja 2x-1=0.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{1}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x\left(5x^{2}+1\right), joka on lukujen x,5x^{2}+1 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(5x^{2}+1\right)\times 2=x\left(4x+7\right)$$

Laske lukujen 5x^{2}+1 ja 2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$10x^{2}+2=x\left(4x+7\right)$$

Laske lukujen x ja 4x+7 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$10x^{2}+2=4x^{2}+7x$$

Vähennä 4x^{2} molemmilta puolilta.

$$10x^{2}+2-4x^{2}=7x$$

Selvitä 6x^{2} yhdistämällä 10x^{2} ja -4x^{2}.

$$6x^{2}+2=7x$$

Vähennä 7x molemmilta puolilta.

$$6x^{2}+2-7x=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$6x^{2}-7x+2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 6, b luvulla -7 ja c luvulla 2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

Korota -7 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

Kerro -4 ja 6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24\times 2}}{2\times 6}$$

Kerro -24 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 6}$$

Lisää 49 lukuun -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

Ota luvun 1 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 6}$$

Luvun -7 vastaluku on 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 6}$$

Kerro 2 ja 6.

$$x=\frac{7±1}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±1}{12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 7 lukuun 1.

$$x=\frac{8}{12}$$

Supista murtoluku \frac{8}{12} luvulla 4.

$$x=\frac{2}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±1}{12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 1 luvusta 7.

$$x=\frac{6}{12}$$

Supista murtoluku \frac{6}{12} luvulla 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x\left(5x^{2}+1\right), joka on lukujen x,5x^{2}+1 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(5x^{2}+1\right)\times 2=x\left(4x+7\right)$$

Laske lukujen 5x^{2}+1 ja 2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$10x^{2}+2=x\left(4x+7\right)$$

Laske lukujen x ja 4x+7 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$10x^{2}+2=4x^{2}+7x$$

Vähennä 4x^{2} molemmilta puolilta.

$$10x^{2}+2-4x^{2}=7x$$

Selvitä 6x^{2} yhdistämällä 10x^{2} ja -4x^{2}.

$$6x^{2}+2=7x$$

Vähennä 7x molemmilta puolilta.

$$6x^{2}+2-7x=0$$

Vähennä 2 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$6x^{2}-7x=-2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$\frac{6x^{2}-7x}{6}=-\frac{2}{6}$$

Jakaminen luvulla 6 kumoaa kertomisen luvulla 6.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=-\frac{2}{6}$$

Supista murtoluku \frac{-2}{6} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=-\frac{1}{3}$$

Jaa -\frac{7}{6} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{12}. Lisää sitten -\frac{7}{12}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{12} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=-\frac{1}{3}+\frac{49}{144}$$

Lisää -\frac{1}{3} lukuun \frac{49}{144} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{144}$$

Jaa x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{7}{12}=\frac{1}{12} x-\frac{7}{12}=-\frac{1}{12}$$

Lisää \frac{7}{12} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{1}{2}$$