Ratkaise 1/x-1-1/x^2-1

$$\frac{ 1 }{ x-1 } - \frac{ 1 }{ { x }^{ 2 } -1 }$$

Laske

$$\frac{x}{x^{2}-1}$$

Lyhyen ratkaisun vaiheet

Jaa x^{2}-1 tekijöihin.

$$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

Jos haluat lisätä tai vähentää lausekkeita, lavenna ne niin, että niiden nimittäjät ovat samat. Lukujen x-1 ja \left(x-1\right)\left(x+1\right) pienin yhteinen jaettava on \left(x-1\right)\left(x+1\right). Kerro \frac{1}{x-1} ja \frac{x+1}{x+1}.

$$\frac{x+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

Koska arvoilla \frac{x+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} ja \frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} on sama nimittäjä, laske niiden erotus vähentämällä niiden osoittajat toisistaan.

$$\frac{x+1-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

Yhdistä samanmuotoiset termit yhtälössä x+1-1.

$$\frac{x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

Lavenna \left(x-1\right)\left(x+1\right).

$$\frac{x}{x^{2}-1}$$

Derivoi muuttujan x suhteen

$$\frac{-x^{2}-1}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Vaiheet, joissa käytetään osamäärän derivaattasääntöä

Jaa x^{2}-1 tekijöihin.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

Jos haluat lisätä tai vähentää lausekkeita, lavenna ne niin, että niiden nimittäjät ovat samat. Lukujen x-1 ja \left(x-1\right)\left(x+1\right) pienin yhteinen jaettava on \left(x-1\right)\left(x+1\right). Kerro \frac{1}{x-1} ja \frac{x+1}{x+1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

Koska arvoilla \frac{x+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} ja \frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} on sama nimittäjä, laske niiden erotus vähentämällä niiden osoittajat toisistaan.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x+1-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

Yhdistä samanmuotoiset termit yhtälössä x+1-1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

Tarkastele lauseketta \left(x-1\right)\left(x+1\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Korota 1 neliöön.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x}{x^{2}-1})$$

Kun tarkastellaan kahta derivoituvaa funktiota, funktioiden osamäärän derivaatta on nimittäjä kertaa osoittajan derivaatta miinus osoittaja kertaa nimittäjän derivaatta ja tämä kaikki jaettuna nimittäjän neliöllä.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{1})-x^{1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}-1)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Polynomin derivaatta on sen termien derivaattojen summa. Vakiotermin derivaatta on 0. Lausekkeen ax^{n} derivaatta on nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)x^{1-1}-x^{1}\times 2x^{2-1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Tee laskutoimitus.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)x^{0}-x^{1}\times 2x^{1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Lavenna osittelulain avulla.

$$\frac{x^{2}x^{0}-x^{0}-x^{1}\times 2x^{1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Jos haluat kertoa samankantaiset potenssit, laske niiden eksponentit yhteen.

$$\frac{x^{2}-x^{0}-2x^{1+1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Tee laskutoimitus.

$$\frac{x^{2}-x^{0}-2x^{2}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Yhdistä samanmuotoiset termit.

$$\frac{\left(1-2\right)x^{2}-x^{0}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Vähennä 2 luvusta 1.

$$\frac{-x^{2}-x^{0}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Luvulle t, joka ei ole 0, pätee t^{0}=1.

$$\frac{-x^{2}-1}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$