Ratkaise 1/x=-x+25

$$\frac{ 1 }{ x } = -x+25$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{3 \sqrt{69} + 25}{2} \approx 24,959935794$$

$$x=\frac{25-3\sqrt{69}}{2}\approx 0,040064206$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x.

$$1=-xx+x\times 25$$

Kerro x ja x, niin saadaan x^{2}.

$$1=-x^{2}+x\times 25$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$-x^{2}+x\times 25=1$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta.

$$-x^{2}+x\times 25-1=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+25x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 25 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 25 neliöön.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -1.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 625 lukuun -4.

$$x=\frac{-25±\sqrt{621}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 621 neliöjuuri.

$$x=\frac{-25±3\sqrt{69}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-25±3\sqrt{69}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-25±3\sqrt{69}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -25 lukuun 3\sqrt{69}.

$$x=\frac{3\sqrt{69}-25}{-2}$$

Jaa -25+3\sqrt{69} luvulla -2.

$$x=\frac{25-3\sqrt{69}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-25±3\sqrt{69}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3\sqrt{69} luvusta -25.

$$x=\frac{-3\sqrt{69}-25}{-2}$$

Jaa -25-3\sqrt{69} luvulla -2.

$$x=\frac{3\sqrt{69}+25}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{25-3\sqrt{69}}{2} x=\frac{3\sqrt{69}+25}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x.

$$1=-xx+x\times 25$$

Kerro x ja x, niin saadaan x^{2}.

$$1=-x^{2}+x\times 25$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$-x^{2}+x\times 25=1$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+25x=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+25x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{25}{-1}x=\frac{1}{-1}$$

Jaa 25 luvulla -1.

$$x^{2}-25x=\frac{1}{-1}$$

Jaa 1 luvulla -1.

$$x^{2}-25x=-1$$

Jaa -25 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{25}{2}. Lisää sitten -\frac{25}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{25}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-1+\frac{625}{4}$$

Lisää -1 lukuun \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{621}{4}$$

Jaa x^{2}-25x+\frac{625}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{621}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{621}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{3\sqrt{69}}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{3\sqrt{69}}{2}$$

Lisää \frac{25}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{3\sqrt{69}+25}{2} x=\frac{25-3\sqrt{69}}{2}$$