Ratkaise 1/9x^2+x+9/4=0

$$\frac{ 1 }{ 9 } { x }^{ 2 } +x+ \frac{ 9 }{ 4 } =0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$\frac{1}{9}x^{2}+x+\frac{9}{4}=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla \frac{1}{9}, b luvulla 1 ja c luvulla \frac{9}{4} toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times \frac{1}{9}\times \frac{9}{4}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Korota 1 neliöön.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times \frac{1}{9}\times \frac{9}{4}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Kerro -4 ja \frac{1}{9}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-\frac{4}{9}\times \frac{9}{4}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Kerro -\frac{4}{9} ja \frac{9}{4} kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-1}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Lisää 1 lukuun -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{0}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Ota luvun 0 neliöjuuri.

$$x=-\frac{1}{2\times \frac{1}{9}}$$

Kerro 2 ja \frac{1}{9}.

$$x=-\frac{1}{\frac{2}{9}}$$

Jaa -1 luvulla \frac{2}{9} kertomalla -1 luvun \frac{2}{9} käänteisluvulla.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{9}x^{2}+x+\frac{9}{4}=0$$

Vähennä \frac{9}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$\frac{1}{9}x^{2}+x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}=-\frac{9}{4}$$

Kun luku \frac{9}{4} vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$\frac{1}{9}x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

Kerro molemmat puolet luvulla 9.

$$\frac{\frac{1}{9}x^{2}+x}{\frac{1}{9}}=-\frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{9}}$$

Jakaminen luvulla \frac{1}{9} kumoaa kertomisen luvulla \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\frac{1}{\frac{1}{9}}x=-\frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{9}}$$

Jaa 1 luvulla \frac{1}{9} kertomalla 1 luvun \frac{1}{9} käänteisluvulla.

$$x^{2}+9x=-\frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{9}}$$

Jaa -\frac{9}{4} luvulla \frac{1}{9} kertomalla -\frac{9}{4} luvun \frac{1}{9} käänteisluvulla.

$$x^{2}+9x=-\frac{81}{4}$$

Jaa 9 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{9}{2}. Lisää sitten \frac{9}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+9x+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=-\frac{81}{4}+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{9}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+9x+\frac{81}{4}=\frac{-81+81}{4}$$

Lisää -\frac{81}{4} lukuun \frac{81}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+9x+\frac{81}{4}=0$$

Jaa x^{2}+9x+\frac{81}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}=0$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sievennä.

$$x+\frac{9}{2}=0 x+\frac{9}{2}=0$$

Vähennä \frac{9}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-\frac{9}{2} x=-\frac{9}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu. Ratkaisut ovat samat.

$$x=-\frac{9}{2}$$