Ratkaise 1/6(4x+5)-2/3(2x+7)=3

$$\frac{ 1 }{ 6 } (4x+5) \frac{ -2 }{ 3 } (2x+7)=3$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}\approx -2,375+1,452368755i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}\approx -2,375-1,452368755i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Murtolauseke \frac{-2}{3} voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon -\frac{2}{3} siirtämällä negatiivinen etumerkki lausekkeen ulkopuolelle.

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=3$$

Kerro \frac{1}{6} ja -\frac{2}{3}, niin saadaan -\frac{1}{9}.

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=3$$

Laske lukujen -\frac{1}{9} ja 4x+5 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=3$$

Laske lukujen -\frac{4}{9}x-\frac{5}{9} ja 2x+7 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=3$$

Vähennä 3 molemmilta puolilta.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}-3=0$$

Vähennä 3 luvusta -\frac{35}{9} saadaksesi tuloksen -\frac{62}{9}.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{62}{9}=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -\frac{8}{9}, b luvulla -\frac{38}{9} ja c luvulla -\frac{62}{9} toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{38}{9}\right)^{2}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Korota -\frac{38}{9} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Kerro -4 ja -\frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}+\frac{32}{9}\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Kerro \frac{32}{9} ja -\frac{62}{9} kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444-1984}{81}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Lisää \frac{1444}{81} lukuun -\frac{1984}{81} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{-\frac{20}{3}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Ota luvun -\frac{20}{3} neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Luvun -\frac{38}{9} vastaluku on \frac{38}{9}.

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Kerro 2 ja -\frac{8}{9}.

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää \frac{38}{9} lukuun \frac{2i\sqrt{15}}{3}.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{15}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

Jaa \frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{15}}{3} luvulla -\frac{16}{9} kertomalla \frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{15}}{3} luvun -\frac{16}{9} käänteisluvulla.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{2i\sqrt{15}}{3} luvusta \frac{38}{9}.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{15}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

Jaa \frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{15}}{3} luvulla -\frac{16}{9} kertomalla \frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{15}}{3} luvun -\frac{16}{9} käänteisluvulla.

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8} x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Murtolauseke \frac{-2}{3} voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon -\frac{2}{3} siirtämällä negatiivinen etumerkki lausekkeen ulkopuolelle.

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=3$$

Kerro \frac{1}{6} ja -\frac{2}{3}, niin saadaan -\frac{1}{9}.

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=3$$

Laske lukujen -\frac{1}{9} ja 4x+5 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=3$$

Laske lukujen -\frac{4}{9}x-\frac{5}{9} ja 2x+7 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=3$$

Lisää \frac{35}{9} molemmille puolille.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=3+\frac{35}{9}$$

Selvitä \frac{62}{9} laskemalla yhteen 3 ja \frac{35}{9}.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=\frac{62}{9}$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla -\frac{8}{9}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$\frac{-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x}{-\frac{8}{9}}=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

Jakaminen luvulla -\frac{8}{9} kumoaa kertomisen luvulla -\frac{8}{9}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{38}{9}}{-\frac{8}{9}}\right)x=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

Jaa -\frac{38}{9} luvulla -\frac{8}{9} kertomalla -\frac{38}{9} luvun -\frac{8}{9} käänteisluvulla.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

Jaa \frac{62}{9} luvulla -\frac{8}{9} kertomalla \frac{62}{9} luvun -\frac{8}{9} käänteisluvulla.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=-\frac{31}{4}$$

Jaa \frac{19}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{19}{8}. Lisää sitten \frac{19}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{31}{4}+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}$$

Korota \frac{19}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{31}{4}+\frac{361}{64}$$

Lisää -\frac{31}{4} lukuun \frac{361}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{135}{64}$$

Jaa x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{135}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{135}{64}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{19}{8}=\frac{3\sqrt{15}i}{8} x+\frac{19}{8}=-\frac{3\sqrt{15}i}{8}$$

Vähennä \frac{19}{8} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}$$