Ratkaise 1/6left(4x+5right)-2/3left(2x+7right)=3/2

$$\frac{ 1 }{ 6 } \left( 4x+5 \right) \frac{ -2 }{ 3 } \left( 2x+7 \right) = \frac{ 3 }{ 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-19+3\sqrt{3}i}{8}\approx -2,375+0,649519053i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-19}{8}\approx -2,375-0,649519053i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Murtolauseke \frac{-2}{3} voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon -\frac{2}{3} siirtämällä negatiivinen etumerkki lausekkeen ulkopuolelle.

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=\frac{3}{2}$$

Kerro \frac{1}{6} ja -\frac{2}{3}, niin saadaan -\frac{1}{9}.

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=\frac{3}{2}$$

Laske lukujen -\frac{1}{9} ja 4x+5 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=\frac{3}{2}$$

Laske lukujen -\frac{4}{9}x-\frac{5}{9} ja 2x+7 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=\frac{3}{2}$$

Vähennä \frac{3}{2} molemmilta puolilta.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}-\frac{3}{2}=0$$

Vähennä \frac{3}{2} luvusta -\frac{35}{9} saadaksesi tuloksen -\frac{97}{18}.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{97}{18}=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -\frac{8}{9}, b luvulla -\frac{38}{9} ja c luvulla -\frac{97}{18} toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{38}{9}\right)^{2}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{97}{18}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Korota -\frac{38}{9} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{97}{18}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Kerro -4 ja -\frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}+\frac{32}{9}\left(-\frac{97}{18}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Kerro \frac{32}{9} ja -\frac{97}{18} kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444-1552}{81}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Lisää \frac{1444}{81} lukuun -\frac{1552}{81} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{-\frac{4}{3}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Ota luvun -\frac{4}{3} neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\frac{2\sqrt{3}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Luvun -\frac{38}{9} vastaluku on \frac{38}{9}.

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{3}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Kerro 2 ja -\frac{8}{9}.

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{3}i}{3}}{-\frac{16}{9}}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{3}i}{3}}{-\frac{16}{9}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää \frac{38}{9} lukuun \frac{2i\sqrt{3}}{3}.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{3}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

Jaa \frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{3}}{3} luvulla -\frac{16}{9} kertomalla \frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{3}}{3} luvun -\frac{16}{9} käänteisluvulla.

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-19}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{3}i}{3}}{-\frac{16}{9}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{2i\sqrt{3}}{3} luvusta \frac{38}{9}.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{3}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

Jaa \frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{3}}{3} luvulla -\frac{16}{9} kertomalla \frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{3}}{3} luvun -\frac{16}{9} käänteisluvulla.

$$x=\frac{-19+3\sqrt{3}i}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-19}{8} x=\frac{-19+3\sqrt{3}i}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Murtolauseke \frac{-2}{3} voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon -\frac{2}{3} siirtämällä negatiivinen etumerkki lausekkeen ulkopuolelle.

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=\frac{3}{2}$$

Kerro \frac{1}{6} ja -\frac{2}{3}, niin saadaan -\frac{1}{9}.

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=\frac{3}{2}$$

Laske lukujen -\frac{1}{9} ja 4x+5 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=\frac{3}{2}$$

Laske lukujen -\frac{4}{9}x-\frac{5}{9} ja 2x+7 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=\frac{3}{2}$$

Lisää \frac{35}{9} molemmille puolille.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=\frac{3}{2}+\frac{35}{9}$$

Selvitä \frac{97}{18} laskemalla yhteen \frac{3}{2} ja \frac{35}{9}.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=\frac{97}{18}$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla -\frac{8}{9}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$\frac{-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x}{-\frac{8}{9}}=\frac{\frac{97}{18}}{-\frac{8}{9}}$$

Jakaminen luvulla -\frac{8}{9} kumoaa kertomisen luvulla -\frac{8}{9}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{38}{9}}{-\frac{8}{9}}\right)x=\frac{\frac{97}{18}}{-\frac{8}{9}}$$

Jaa -\frac{38}{9} luvulla -\frac{8}{9} kertomalla -\frac{38}{9} luvun -\frac{8}{9} käänteisluvulla.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=\frac{\frac{97}{18}}{-\frac{8}{9}}$$

Jaa \frac{97}{18} luvulla -\frac{8}{9} kertomalla \frac{97}{18} luvun -\frac{8}{9} käänteisluvulla.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=-\frac{97}{16}$$

Jaa \frac{19}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{19}{8}. Lisää sitten \frac{19}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{97}{16}+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}$$

Korota \frac{19}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{97}{16}+\frac{361}{64}$$

Lisää -\frac{97}{16} lukuun \frac{361}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{27}{64}$$

Jaa x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{27}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{27}{64}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{19}{8}=\frac{3\sqrt{3}i}{8} x+\frac{19}{8}=-\frac{3\sqrt{3}i}{8}$$

Vähennä \frac{19}{8} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-19+3\sqrt{3}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{3}i-19}{8}$$