Ratkaise 1/4x^2-2x+6=0

$$\frac{ 1 }{ 4 } { x }^{ 2 } -2x+6=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=4+2\sqrt{2}i\approx 4+2,828427125i$$

$$x=-2\sqrt{2}i+4\approx 4-2,828427125i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$\frac{1}{4}x^{2}-2x+6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla \frac{1}{4}, b luvulla -2 ja c luvulla 6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times \frac{1}{4}\times 6}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Korota -2 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times \frac{1}{4}\times 6}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Kerro -4 ja \frac{1}{4}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-6}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Lisää 4 lukuun -6.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-2}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Ota luvun -2 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{2}i}{2\times \frac{1}{4}}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$x=\frac{2±\sqrt{2}i}{2\times \frac{1}{4}}$$

Kerro 2 ja \frac{1}{4}.

$$x=\frac{2±\sqrt{2}i}{\frac{1}{2}}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±\sqrt{2}i}{\frac{1}{2}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun i\sqrt{2}.

$$x=\frac{2+\sqrt{2}i}{\frac{1}{2}}$$

Jaa 2+i\sqrt{2} luvulla \frac{1}{2} kertomalla 2+i\sqrt{2} luvun \frac{1}{2} käänteisluvulla.

$$x=4+2\sqrt{2}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±\sqrt{2}i}{\frac{1}{2}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{2} luvusta 2.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i+2}{\frac{1}{2}}$$

Jaa 2-i\sqrt{2} luvulla \frac{1}{2} kertomalla 2-i\sqrt{2} luvun \frac{1}{2} käänteisluvulla.

$$x=-2\sqrt{2}i+4$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=4+2\sqrt{2}i x=-2\sqrt{2}i+4$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{4}x^{2}-2x+6=0$$

Vähennä 6 yhtälön molemmilta puolilta.

$$\frac{1}{4}x^{2}-2x+6-6=-6$$

Kun luku 6 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$\frac{1}{4}x^{2}-2x=-6$$

Kerro molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{\frac{1}{4}x^{2}-2x}{\frac{1}{4}}=-\frac{6}{\frac{1}{4}}$$

Jakaminen luvulla \frac{1}{4} kumoaa kertomisen luvulla \frac{1}{4}.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{\frac{1}{4}}\right)x=-\frac{6}{\frac{1}{4}}$$

Jaa -2 luvulla \frac{1}{4} kertomalla -2 luvun \frac{1}{4} käänteisluvulla.

$$x^{2}-8x=-\frac{6}{\frac{1}{4}}$$

Jaa -6 luvulla \frac{1}{4} kertomalla -6 luvun \frac{1}{4} käänteisluvulla.

$$x^{2}-8x=-24$$

Jaa -8 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -4. Lisää sitten -4:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-24+\left(-4\right)^{2}$$

Korota -4 neliöön.

$$x^{2}-8x+16=-24+16$$

Lisää -24 lukuun 16.

$$x^{2}-8x+16=-8$$

Jaa x^{2}-8x+16 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=-8$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-8}$$

Sievennä.

$$x-4=2\sqrt{2}i x-4=-2\sqrt{2}i$$

Lisää 4 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=4+2\sqrt{2}i x=-2\sqrt{2}i+4$$