Ratkaise 1/4x^2+3/5x-6=0

$$\frac{ 1 }{ 4 } { x }^{ 2 } + \frac{ 3 }{ 5 } x-6=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{2 \sqrt{159} - 6}{5} \approx 3,843808085$$

$$x=\frac{-2\sqrt{159}-6}{5}\approx -6,243808085$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$\frac{1}{4}x^{2}+\frac{3}{5}x-6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla \frac{1}{4}, b luvulla \frac{3}{5} ja c luvulla -6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{3}{5}±\sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^{2}-4\times \frac{1}{4}\left(-6\right)}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Korota \frac{3}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x=\frac{-\frac{3}{5}±\sqrt{\frac{9}{25}-4\times \frac{1}{4}\left(-6\right)}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Kerro -4 ja \frac{1}{4}.

$$x=\frac{-\frac{3}{5}±\sqrt{\frac{9}{25}-\left(-6\right)}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Kerro -1 ja -6.

$$x=\frac{-\frac{3}{5}±\sqrt{\frac{9}{25}+6}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Lisää \frac{9}{25} lukuun 6.

$$x=\frac{-\frac{3}{5}±\sqrt{\frac{159}{25}}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Ota luvun \frac{159}{25} neliöjuuri.

$$x=\frac{-\frac{3}{5}±\frac{\sqrt{159}}{5}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Kerro 2 ja \frac{1}{4}.

$$x=\frac{-\frac{3}{5}±\frac{\sqrt{159}}{5}}{\frac{1}{2}}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-\frac{3}{5}±\frac{\sqrt{159}}{5}}{\frac{1}{2}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -\frac{3}{5} lukuun \frac{\sqrt{159}}{5}.

$$x=\frac{\sqrt{159}-3}{\frac{1}{2}\times 5}$$

Jaa \frac{-3+\sqrt{159}}{5} luvulla \frac{1}{2} kertomalla \frac{-3+\sqrt{159}}{5} luvun \frac{1}{2} käänteisluvulla.

$$x=\frac{2\sqrt{159}-6}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-\frac{3}{5}±\frac{\sqrt{159}}{5}}{\frac{1}{2}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{\sqrt{159}}{5} luvusta -\frac{3}{5}.

$$x=\frac{-\sqrt{159}-3}{\frac{1}{2}\times 5}$$

Jaa \frac{-3-\sqrt{159}}{5} luvulla \frac{1}{2} kertomalla \frac{-3-\sqrt{159}}{5} luvun \frac{1}{2} käänteisluvulla.

$$x=\frac{-2\sqrt{159}-6}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{2\sqrt{159}-6}{5} x=\frac{-2\sqrt{159}-6}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{4}x^{2}+\frac{3}{5}x-6=0$$

Lisää 6 yhtälön kummallekin puolelle.

$$\frac{1}{4}x^{2}+\frac{3}{5}x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Kun luku -6 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$\frac{1}{4}x^{2}+\frac{3}{5}x=-\left(-6\right)$$

Vähennä -6 luvusta 0.

$$\frac{1}{4}x^{2}+\frac{3}{5}x=6$$

Kerro molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{\frac{1}{4}x^{2}+\frac{3}{5}x}{\frac{1}{4}}=\frac{6}{\frac{1}{4}}$$

Jakaminen luvulla \frac{1}{4} kumoaa kertomisen luvulla \frac{1}{4}.

$$x^{2}+\frac{\frac{3}{5}}{\frac{1}{4}}x=\frac{6}{\frac{1}{4}}$$

Jaa \frac{3}{5} luvulla \frac{1}{4} kertomalla \frac{3}{5} luvun \frac{1}{4} käänteisluvulla.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=\frac{6}{\frac{1}{4}}$$

Jaa 6 luvulla \frac{1}{4} kertomalla 6 luvun \frac{1}{4} käänteisluvulla.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=24$$

Jaa \frac{12}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{6}{5}. Lisää sitten \frac{6}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=24+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Korota \frac{6}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=24+\frac{36}{25}$$

Lisää 24 lukuun \frac{36}{25}.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{636}{25}$$

Jaa x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{636}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{636}{25}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{6}{5}=\frac{2\sqrt{159}}{5} x+\frac{6}{5}=-\frac{2\sqrt{159}}{5}$$

Vähennä \frac{6}{5} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{2\sqrt{159}-6}{5} x=\frac{-2\sqrt{159}-6}{5}$$