Ratkaise 1/2left(1-k/2right)left(2-kright)=left(k+2right)left(1-k/2right)

$$\frac{ 1 }{ 2 } \left( 1- \frac{ k }{ 2 } \right) \left( 2-k \right) = \left( k+2 \right) \left( 1- \frac{ k }{ 2 } \right)$$

Ratkaise muuttujan k suhteen

$$k=2$$

$$k=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 2.

$$1\left(1-\frac{k}{2}\right)\left(2-k\right)=2\left(k+2\right)\left(1-\frac{k}{2}\right)$$

Laske lukujen 1 ja 1-\frac{k}{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\left(1-\frac{k}{2}\right)\left(2-k\right)=2\left(k+2\right)\left(1-\frac{k}{2}\right)$$

Sovella osittelulakia kertomalla jokainen lausekkeen 1-\frac{k}{2} termi jokaisella lausekkeen 2-k termillä.

$$2-k+2\left(-\frac{k}{2}\right)-\left(-\frac{k}{2}\right)k=2\left(k+2\right)\left(1-\frac{k}{2}\right)$$

Ilmaise 2\left(-\frac{k}{2}\right) säännöllisenä murtolukuna.

$$2-k+\frac{-2k}{2}-\left(-\frac{k}{2}\right)k=2\left(k+2\right)\left(1-\frac{k}{2}\right)$$

Supista 2 ja 2.

$$2-k-k-\left(-\frac{k}{2}\right)k=2\left(k+2\right)\left(1-\frac{k}{2}\right)$$

Selvitä -2k yhdistämällä -k ja -k.

$$2-2k-\left(-\frac{k}{2}\right)k=2\left(k+2\right)\left(1-\frac{k}{2}\right)$$

Kerro -1 ja -1, niin saadaan 1.

$$2-2k+\frac{k}{2}k=2\left(k+2\right)\left(1-\frac{k}{2}\right)$$

Ilmaise \frac{k}{2}k säännöllisenä murtolukuna.

$$2-2k+\frac{kk}{2}=2\left(k+2\right)\left(1-\frac{k}{2}\right)$$

Kerro k ja k, niin saadaan k^{2}.

$$2-2k+\frac{k^{2}}{2}=2\left(k+2\right)\left(1-\frac{k}{2}\right)$$

Laske lukujen 2 ja k+2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2-2k+\frac{k^{2}}{2}=\left(2k+4\right)\left(1-\frac{k}{2}\right)$$

Sovella osittelulakia kertomalla jokainen lausekkeen 2k+4 termi jokaisella lausekkeen 1-\frac{k}{2} termillä.

$$2-2k+\frac{k^{2}}{2}=2k+2k\left(-\frac{k}{2}\right)+4+4\left(-\frac{k}{2}\right)$$

Ilmaise 2\left(-\frac{k}{2}\right) säännöllisenä murtolukuna.

$$2-2k+\frac{k^{2}}{2}=2k+\frac{-2k}{2}k+4+4\left(-\frac{k}{2}\right)$$

Supista 2 ja 2.

$$2-2k+\frac{k^{2}}{2}=2k-kk+4+4\left(-\frac{k}{2}\right)$$

Supista lausekkeiden 4 ja 2 suurin yhteinen tekijä 2.

$$2-2k+\frac{k^{2}}{2}=2k-kk+4-2k$$

Selvitä 0 yhdistämällä 2k ja -2k.

$$2-2k+\frac{k^{2}}{2}=-kk+4$$

Kerro k ja k, niin saadaan k^{2}.

$$2-2k+\frac{k^{2}}{2}=-k^{2}+4$$

Lisää k^{2} molemmille puolille.

$$2-2k+\frac{k^{2}}{2}+k^{2}=4$$

Selvitä \frac{3}{2}k^{2} yhdistämällä \frac{k^{2}}{2} ja k^{2}.

$$2-2k+\frac{3}{2}k^{2}=4$$

Vähennä 4 molemmilta puolilta.

$$2-2k+\frac{3}{2}k^{2}-4=0$$

Vähennä 4 luvusta 2 saadaksesi tuloksen -2.

$$-2-2k+\frac{3}{2}k^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$\frac{3}{2}k^{2}-2k-2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla \frac{3}{2}, b luvulla -2 ja c luvulla -2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times \frac{3}{2}\left(-2\right)}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Korota -2 neliöön.

$$k=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times \frac{3}{2}\left(-2\right)}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Kerro -4 ja \frac{3}{2}.

$$k=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-6\left(-2\right)}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Kerro -6 ja -2.

$$k=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Lisää 4 lukuun 12.

$$k=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{16}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Ota luvun 16 neliöjuuri.

$$k=\frac{-\left(-2\right)±4}{2\times \frac{3}{2}}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$k=\frac{2±4}{2\times \frac{3}{2}}$$

Kerro 2 ja \frac{3}{2}.

$$k=\frac{2±4}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö k=\frac{2±4}{3}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 4.

$$k=\frac{6}{3}$$

Jaa 6 luvulla 3.

$$k=2$$

Ratkaise nyt yhtälö k=\frac{2±4}{3}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4 luvusta 2.

$$k=-\frac{2}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$k=2 k=-\frac{2}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 2.

$$1\left(1-\frac{k}{2}\right)\left(2-k\right)=2\left(k+2\right)\left(1-\frac{k}{2}\right)$$

Laske lukujen 1 ja 1-\frac{k}{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\left(1-\frac{k}{2}\right)\left(2-k\right)=2\left(k+2\right)\left(1-\frac{k}{2}\right)$$

Sovella osittelulakia kertomalla jokainen lausekkeen 1-\frac{k}{2} termi jokaisella lausekkeen 2-k termillä.

$$2-k+2\left(-\frac{k}{2}\right)-\left(-\frac{k}{2}\right)k=2\left(k+2\right)\left(1-\frac{k}{2}\right)$$

Ilmaise 2\left(-\frac{k}{2}\right) säännöllisenä murtolukuna.

$$2-k+\frac{-2k}{2}-\left(-\frac{k}{2}\right)k=2\left(k+2\right)\left(1-\frac{k}{2}\right)$$

Supista 2 ja 2.

$$2-k-k-\left(-\frac{k}{2}\right)k=2\left(k+2\right)\left(1-\frac{k}{2}\right)$$

Selvitä -2k yhdistämällä -k ja -k.

$$2-2k-\left(-\frac{k}{2}\right)k=2\left(k+2\right)\left(1-\frac{k}{2}\right)$$

Kerro -1 ja -1, niin saadaan 1.

$$2-2k+\frac{k}{2}k=2\left(k+2\right)\left(1-\frac{k}{2}\right)$$

Ilmaise \frac{k}{2}k säännöllisenä murtolukuna.

$$2-2k+\frac{kk}{2}=2\left(k+2\right)\left(1-\frac{k}{2}\right)$$

Kerro k ja k, niin saadaan k^{2}.

$$2-2k+\frac{k^{2}}{2}=2\left(k+2\right)\left(1-\frac{k}{2}\right)$$

Laske lukujen 2 ja k+2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2-2k+\frac{k^{2}}{2}=\left(2k+4\right)\left(1-\frac{k}{2}\right)$$

Sovella osittelulakia kertomalla jokainen lausekkeen 2k+4 termi jokaisella lausekkeen 1-\frac{k}{2} termillä.

$$2-2k+\frac{k^{2}}{2}=2k+2k\left(-\frac{k}{2}\right)+4+4\left(-\frac{k}{2}\right)$$

Ilmaise 2\left(-\frac{k}{2}\right) säännöllisenä murtolukuna.

$$2-2k+\frac{k^{2}}{2}=2k+\frac{-2k}{2}k+4+4\left(-\frac{k}{2}\right)$$

Supista 2 ja 2.

$$2-2k+\frac{k^{2}}{2}=2k-kk+4+4\left(-\frac{k}{2}\right)$$

Supista lausekkeiden 4 ja 2 suurin yhteinen tekijä 2.

$$2-2k+\frac{k^{2}}{2}=2k-kk+4-2k$$

Selvitä 0 yhdistämällä 2k ja -2k.

$$2-2k+\frac{k^{2}}{2}=-kk+4$$

Kerro k ja k, niin saadaan k^{2}.

$$2-2k+\frac{k^{2}}{2}=-k^{2}+4$$

Lisää k^{2} molemmille puolille.

$$2-2k+\frac{k^{2}}{2}+k^{2}=4$$

Selvitä \frac{3}{2}k^{2} yhdistämällä \frac{k^{2}}{2} ja k^{2}.

$$2-2k+\frac{3}{2}k^{2}=4$$

Vähennä 2 molemmilta puolilta.

$$-2k+\frac{3}{2}k^{2}=4-2$$

Vähennä 2 luvusta 4 saadaksesi tuloksen 2.

$$-2k+\frac{3}{2}k^{2}=2$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$\frac{3}{2}k^{2}-2k=2$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla \frac{3}{2}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$\frac{\frac{3}{2}k^{2}-2k}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{\frac{3}{2}}$$

Jakaminen luvulla \frac{3}{2} kumoaa kertomisen luvulla \frac{3}{2}.

$$k^{2}+\left(-\frac{2}{\frac{3}{2}}\right)k=\frac{2}{\frac{3}{2}}$$

Jaa -2 luvulla \frac{3}{2} kertomalla -2 luvun \frac{3}{2} käänteisluvulla.

$$k^{2}-\frac{4}{3}k=\frac{2}{\frac{3}{2}}$$

Jaa 2 luvulla \frac{3}{2} kertomalla 2 luvun \frac{3}{2} käänteisluvulla.

$$k^{2}-\frac{4}{3}k=\frac{4}{3}$$

Jaa -\frac{4}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{2}{3}. Lisää sitten -\frac{2}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$k^{2}-\frac{4}{3}k+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{2}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$k^{2}-\frac{4}{3}k+\frac{4}{9}=\frac{4}{3}+\frac{4}{9}$$

Lisää \frac{4}{3} lukuun \frac{4}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$k^{2}-\frac{4}{3}k+\frac{4}{9}=\frac{16}{9}$$

Jaa k^{2}-\frac{4}{3}k+\frac{4}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(k-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

Sievennä.

$$k-\frac{2}{3}=\frac{4}{3} k-\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}$$

Lisää \frac{2}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$k=2 k=-\frac{2}{3}$$