Ratkaise 1/x^2-1+1

$$\frac{ 1 }{ { x }^{ 2 } -1 } +1$$

Laske

$$\frac{x^{2}}{x^{2}-1}$$

Lyhyen ratkaisun vaiheet

Jaa x^{2}-1 tekijöihin.

$$\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+1$$

Jos haluat lisätä tai vähentää lausekkeita, lavenna ne niin, että niiden nimittäjät ovat samat. Kerro 1 ja \frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.

$$\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

Koska arvoilla \frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} ja \frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} on sama nimittäjä, laske ne yhteen laskemalla niiden osoittajat yhteen.

$$\frac{1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

Suorita kertolaskut kohteessa 1+\left(x-1\right)\left(x+1\right).

$$\frac{1+x^{2}+x-x-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

Yhdistä samanmuotoiset termit yhtälössä 1+x^{2}+x-x-1.

$$\frac{x^{2}}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

Lavenna \left(x-1\right)\left(x+1\right).

$$\frac{x^{2}}{x^{2}-1}$$

Derivoi muuttujan x suhteen

$$-\frac{2x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Vaiheet, joissa käytetään osamäärän derivaattasääntöä

Jaa x^{2}-1 tekijöihin.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+1)$$

Jos haluat lisätä tai vähentää lausekkeita, lavenna ne niin, että niiden nimittäjät ovat samat. Kerro 1 ja \frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

Koska arvoilla \frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} ja \frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} on sama nimittäjä, laske ne yhteen laskemalla niiden osoittajat yhteen.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

Suorita kertolaskut kohteessa 1+\left(x-1\right)\left(x+1\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{1+x^{2}+x-x-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

Yhdistä samanmuotoiset termit yhtälössä 1+x^{2}+x-x-1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x^{2}}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

Tarkastele lauseketta \left(x-1\right)\left(x+1\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Korota 1 neliöön.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x^{2}}{x^{2}-1})$$

Kun tarkastellaan kahta derivoituvaa funktiota, funktioiden osamäärän derivaatta on nimittäjä kertaa osoittajan derivaatta miinus osoittaja kertaa nimittäjän derivaatta ja tämä kaikki jaettuna nimittäjän neliöllä.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2})-x^{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}-1)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Polynomin derivaatta on sen termien derivaattojen summa. Vakiotermin derivaatta on 0. Lausekkeen ax^{n} derivaatta on nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)\times 2x^{2-1}-x^{2}\times 2x^{2-1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Tee laskutoimitus.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)\times 2x^{1}-x^{2}\times 2x^{1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Lavenna osittelulain avulla.

$$\frac{x^{2}\times 2x^{1}-2x^{1}-x^{2}\times 2x^{1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Jos haluat kertoa samankantaiset potenssit, laske niiden eksponentit yhteen.

$$\frac{2x^{2+1}-2x^{1}-2x^{2+1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Tee laskutoimitus.

$$\frac{2x^{3}-2x^{1}-2x^{3}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Yhdistä samanmuotoiset termit.

$$\frac{\left(2-2\right)x^{3}-2x^{1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Vähennä 2 luvusta 2.

$$\frac{-2x^{1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Mille tahansa termille t pätee t^{1}=t.

$$\frac{-2x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$