Ratkaise 1/y{frac{1/2x}}*1/2x/frac{1{y}}

$$\frac{ 1 }{ \frac{ y }{ \frac{ 1 }{ 2x } } } \times \frac{ \frac{ 1 }{ 2x } }{ \frac{ 1 }{ y } }$$

Laske

$$\frac{1}{4x^{2}}$$

Ratkaisun vaiheet

Jaa 1 luvulla \frac{y}{\frac{1}{2x}} kertomalla 1 luvun \frac{y}{\frac{1}{2x}} käänteisluvulla.

$$\frac{\frac{1}{2x}}{y}\times \frac{\frac{1}{2x}}{\frac{1}{y}}$$

Ilmaise \frac{\frac{1}{2x}}{y} säännöllisenä murtolukuna.

$$\frac{1}{2xy}\times \frac{\frac{1}{2x}}{\frac{1}{y}}$$

Jaa \frac{1}{2x} luvulla \frac{1}{y} kertomalla \frac{1}{2x} luvun \frac{1}{y} käänteisluvulla.

$$\frac{1}{2xy}\times \frac{y}{2x}$$

Kerro \frac{1}{2xy} ja \frac{y}{2x} kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään.

$$\frac{y}{2xy\times 2x}$$

Supista y sekä osoittajasta että nimittäjästä.

$$\frac{1}{2\times 2xx}$$

Kerro x ja x, niin saadaan x^{2}.

$$\frac{1}{2\times 2x^{2}}$$

Kerro 2 ja 2, niin saadaan 4.

$$\frac{1}{4x^{2}}$$

Derivoi muuttujan x suhteen

$$-\frac{1}{2x^{3}}$$

Vaiheet, joissa käytetään ketjusääntöä

Jaa 1 luvulla \frac{y}{\frac{1}{2x}} kertomalla 1 luvun \frac{y}{\frac{1}{2x}} käänteisluvulla.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\frac{1}{2x}}{y}\times \frac{\frac{1}{2x}}{\frac{1}{y}})$$

Ilmaise \frac{\frac{1}{2x}}{y} säännöllisenä murtolukuna.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{1}{2xy}\times \frac{\frac{1}{2x}}{\frac{1}{y}})$$

Jaa \frac{1}{2x} luvulla \frac{1}{y} kertomalla \frac{1}{2x} luvun \frac{1}{y} käänteisluvulla.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{1}{2xy}\times \frac{y}{2x})$$

Kerro \frac{1}{2xy} ja \frac{y}{2x} kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{y}{2xy\times 2x})$$

Supista y sekä osoittajasta että nimittäjästä.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{1}{2\times 2xx})$$

Kerro x ja x, niin saadaan x^{2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{1}{2\times 2x^{2}})$$

Kerro 2 ja 2, niin saadaan 4.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{1}{4x^{2}})$$

Jos F on kahden derivoituvan funktion, f\left(u\right) ja u=g\left(x\right), yhdistelmä, eli jos F\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right), niin F:n derivaatta on f:n derivaatta u:n suhteen kertaa g:n derivaatta x:n suhteen, eli \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(F)\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)\left(g\left(x\right)\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(g)\left(x\right).

$$-\left(4x^{2}\right)^{-1-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(4x^{2})$$

Polynomin derivaatta on sen termien derivaattojen summa. Vakiotermin derivaatta on 0. Lausekkeen ax^{n} derivaatta on nax^{n-1}.

$$-\left(4x^{2}\right)^{-2}\times 2\times 4x^{2-1}$$

Sievennä.

$$-8x^{1}\times \left(4x^{2}\right)^{-2}$$

Mille tahansa termille t pätee t^{1}=t.

$$-8x\times \left(4x^{2}\right)^{-2}$$