Ratkaise frac{left(5+10texttt{i}right)20}{5+10texttt{i}+20}

$$\frac{ \left( 5+10 \texttt{i} \right) 20 }{ 5+10 \texttt{i} +20 }$$

Laske

$$\frac{180}{29}+\frac{160}{29}i\approx 6,206896552+5,517241379i$$

Ratkaisun vaiheet

Kerro 5+10i ja 20.

$$\frac{5\times 20+10i\times 20}{5+10i+20}$$

Suorita kertolaskut kohteessa 5\times 20+10i\times 20.

$$\frac{100+200i}{5+10i+20}$$

Yhdistä lukujen 5+10i ja 20 reaali- ja imaginaariosat.

$$\frac{100+200i}{5+20+10i}$$

Lisää 5 lukuun 20.

$$\frac{100+200i}{25+10i}$$

Kerro sekä osoittaja että nimittäjä nimittäjän kompleksikonjugaatilla 25-10i.

$$\frac{\left(100+200i\right)\left(25-10i\right)}{\left(25+10i\right)\left(25-10i\right)}$$

Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(100+200i\right)\left(25-10i\right)}{25^{2}-10^{2}i^{2}}$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1. Laske nimittäjä.

$$\frac{\left(100+200i\right)\left(25-10i\right)}{725}$$

Kerro kompleksiluvut 100+200i ja 25-10i keskenään samaan tapaan kuin binomit.

$$\frac{100\times 25+100\times \left(-10i\right)+200i\times 25+200\left(-10\right)i^{2}}{725}$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1.

$$\frac{100\times 25+100\times \left(-10i\right)+200i\times 25+200\left(-10\right)\left(-1\right)}{725}$$

Suorita kertolaskut kohteessa 100\times 25+100\times \left(-10i\right)+200i\times 25+200\left(-10\right)\left(-1\right).

$$\frac{2500-1000i+5000i+2000}{725}$$

Yhdistä lukujen 2500-1000i+5000i+2000 reaali- ja imaginaariosat.

$$\frac{2500+2000+\left(-1000+5000\right)i}{725}$$

Suorita yhteenlaskut kohteessa 2500+2000+\left(-1000+5000\right)i.

$$\frac{4500+4000i}{725}$$

Jaa 4500+4000i luvulla 725, jolloin ratkaisuksi tulee \frac{180}{29}+\frac{160}{29}i.

$$\frac{180}{29}+\frac{160}{29}i$$

Reaaliosa

$$\frac{180}{29} = 6\frac{6}{29} = 6,206896551724138$$

Ratkaisun vaiheet

Kerro 5+10i ja 20.

$$Re(\frac{5\times 20+10i\times 20}{5+10i+20})$$

Suorita kertolaskut kohteessa 5\times 20+10i\times 20.

$$Re(\frac{100+200i}{5+10i+20})$$

Yhdistä lukujen 5+10i ja 20 reaali- ja imaginaariosat.

$$Re(\frac{100+200i}{5+20+10i})$$

Lisää 5 lukuun 20.

$$Re(\frac{100+200i}{25+10i})$$

Kerro sekä luvun \frac{100+200i}{25+10i} osoittaja että sen nimittäjä nimittäjän kompleksikonjugaatilla 25-10i.

$$Re(\frac{\left(100+200i\right)\left(25-10i\right)}{\left(25+10i\right)\left(25-10i\right)})$$

Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$Re(\frac{\left(100+200i\right)\left(25-10i\right)}{25^{2}-10^{2}i^{2}})$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1. Laske nimittäjä.

$$Re(\frac{\left(100+200i\right)\left(25-10i\right)}{725})$$

Kerro kompleksiluvut 100+200i ja 25-10i keskenään samaan tapaan kuin binomit.

$$Re(\frac{100\times 25+100\times \left(-10i\right)+200i\times 25+200\left(-10\right)i^{2}}{725})$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1.

$$Re(\frac{100\times 25+100\times \left(-10i\right)+200i\times 25+200\left(-10\right)\left(-1\right)}{725})$$

Suorita kertolaskut kohteessa 100\times 25+100\times \left(-10i\right)+200i\times 25+200\left(-10\right)\left(-1\right).

$$Re(\frac{2500-1000i+5000i+2000}{725})$$

Yhdistä lukujen 2500-1000i+5000i+2000 reaali- ja imaginaariosat.

$$Re(\frac{2500+2000+\left(-1000+5000\right)i}{725})$$

Suorita yhteenlaskut kohteessa 2500+2000+\left(-1000+5000\right)i.

$$Re(\frac{4500+4000i}{725})$$

Jaa 4500+4000i luvulla 725, jolloin ratkaisuksi tulee \frac{180}{29}+\frac{160}{29}i.

$$Re(\frac{180}{29}+\frac{160}{29}i)$$

Luvun \frac{180}{29}+\frac{160}{29}i reaaliosa on \frac{180}{29}.

$$\frac{180}{29}$$