Ratkaise y-1/y+3y+1/5=6

$$\frac { y - 1 } { y } + \frac { 3 y + 1 } { 5 } = 6$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=\frac{\sqrt{159}}{3}+4\approx 8,203173404$$

$$y=-\frac{\sqrt{159}}{3}+4\approx -0,203173404$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja y ei voi olla yhtä suuri kuin 0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 5y, joka on lukujen y,5 pienin yhteinen jaettava.

$$5\left(y-1\right)+y\left(3y+1\right)=30y$$

Laske lukujen 5 ja y-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$5y-5+y\left(3y+1\right)=30y$$

Laske lukujen y ja 3y+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$5y-5+3y^{2}+y=30y$$

Selvitä 6y yhdistämällä 5y ja y.

$$6y-5+3y^{2}=30y$$

Vähennä 30y molemmilta puolilta.

$$6y-5+3y^{2}-30y=0$$

Selvitä -24y yhdistämällä 6y ja -30y.

$$-24y-5+3y^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3y^{2}-24y-5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -24 ja c luvulla -5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Korota -24 neliöön.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -5.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+60}}{2\times 3}$$

Lisää 576 lukuun 60.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{636}}{2\times 3}$$

Ota luvun 636 neliöjuuri.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±2\sqrt{159}}{2\times 3}$$

Luvun -24 vastaluku on 24.

$$y=\frac{24±2\sqrt{159}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$y=\frac{24±2\sqrt{159}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{24±2\sqrt{159}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 24 lukuun 2\sqrt{159}.

$$y=\frac{2\sqrt{159}+24}{6}$$

Jaa 24+2\sqrt{159} luvulla 6.

$$y=\frac{\sqrt{159}}{3}+4$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{24±2\sqrt{159}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{159} luvusta 24.

$$y=\frac{24-2\sqrt{159}}{6}$$

Jaa 24-2\sqrt{159} luvulla 6.

$$y=-\frac{\sqrt{159}}{3}+4$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=\frac{\sqrt{159}}{3}+4 y=-\frac{\sqrt{159}}{3}+4$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja y ei voi olla yhtä suuri kuin 0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 5y, joka on lukujen y,5 pienin yhteinen jaettava.

$$5\left(y-1\right)+y\left(3y+1\right)=30y$$

Laske lukujen 5 ja y-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$5y-5+y\left(3y+1\right)=30y$$

Laske lukujen y ja 3y+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$5y-5+3y^{2}+y=30y$$

Selvitä 6y yhdistämällä 5y ja y.

$$6y-5+3y^{2}=30y$$

Vähennä 30y molemmilta puolilta.

$$6y-5+3y^{2}-30y=0$$

Selvitä -24y yhdistämällä 6y ja -30y.

$$-24y-5+3y^{2}=0$$

Lisää 5 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$-24y+3y^{2}=5$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3y^{2}-24y=5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3y^{2}-24y}{3}=\frac{5}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$y^{2}+\left(-\frac{24}{3}\right)y=\frac{5}{3}$$

Jaa -24 luvulla 3.

$$y^{2}-8y=\frac{5}{3}$$

Jaa -8 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -4. Lisää sitten -4:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}-8y+\left(-4\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(-4\right)^{2}$$

Korota -4 neliöön.

$$y^{2}-8y+16=\frac{5}{3}+16$$

Lisää \frac{5}{3} lukuun 16.

$$y^{2}-8y+16=\frac{53}{3}$$

Jaa y^{2}-8y+16 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-4\right)^{2}=\frac{53}{3}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y-4\right)^{2}}=\sqrt{\frac{53}{3}}$$

Sievennä.

$$y-4=\frac{\sqrt{159}}{3} y-4=-\frac{\sqrt{159}}{3}$$

Lisää 4 yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=\frac{\sqrt{159}}{3}+4 y=-\frac{\sqrt{159}}{3}+4$$