Ratkaise x-1/2-x=2x+1

$$\frac { x - 1 } { 2 - x } = 2 x + 1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{7} + 1}{2} \approx 1,822875656$$

$$x=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0,822875656$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 2, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla -x+2.

$$x-1=2x\left(-x+2\right)-x+2$$

Laske lukujen 2x ja -x+2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x-1=-2x^{2}+4x-x+2$$

Selvitä 3x yhdistämällä 4x ja -x.

$$x-1=-2x^{2}+3x+2$$

Lisää 2x^{2} molemmille puolille.

$$x-1+2x^{2}=3x+2$$

Vähennä 3x molemmilta puolilta.

$$x-1+2x^{2}-3x=2$$

Selvitä -2x yhdistämällä x ja -3x.

$$-2x-1+2x^{2}=2$$

Vähennä 2 molemmilta puolilta.

$$-2x-1+2x^{2}-2=0$$

Vähennä 2 luvusta -1 saadaksesi tuloksen -3.

$$-2x-3+2x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-2x-3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -2 ja c luvulla -3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+24}}{2\times 2}$$

Lisää 4 lukuun 24.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{28}}{2\times 2}$$

Ota luvun 28 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{7}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{7}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+2}{4}$$

Jaa 2+2\sqrt{7} luvulla 4.

$$x=\frac{\sqrt{7}+1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{7}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{7} luvusta 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{7}}{4}$$

Jaa 2-2\sqrt{7} luvulla 4.

$$x=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{7}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 2, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla -x+2.

$$x-1=2x\left(-x+2\right)-x+2$$

Laske lukujen 2x ja -x+2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x-1=-2x^{2}+4x-x+2$$

Selvitä 3x yhdistämällä 4x ja -x.

$$x-1=-2x^{2}+3x+2$$

Lisää 2x^{2} molemmille puolille.

$$x-1+2x^{2}=3x+2$$

Vähennä 3x molemmilta puolilta.

$$x-1+2x^{2}-3x=2$$

Selvitä -2x yhdistämällä x ja -3x.

$$-2x-1+2x^{2}=2$$

Lisää 1 molemmille puolille.

$$-2x+2x^{2}=2+1$$

Selvitä 3 laskemalla yhteen 2 ja 1.

$$-2x+2x^{2}=3$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x=3$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{3}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{3}{2}$$

Jaa -2 luvulla 2.

$$x^{2}-x=\frac{3}{2}$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}+\frac{1}{4}$$

Lisää \frac{3}{2} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$$

Jaa x^{2}-x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{7}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{7}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{7}}{2}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{7}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$