Ratkaise x/x-1=8x+1/x-1

$$\frac { x } { x - 1 } = 8 x + \frac { 1 } { x - 1 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{1}{8}=0,125$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 1, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x-1.

$$x=8x\left(x-1\right)+1$$

Laske lukujen 8x ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x=8x^{2}-8x+1$$

Vähennä 8x^{2} molemmilta puolilta.

$$x-8x^{2}=-8x+1$$

Lisää 8x molemmille puolille.

$$x-8x^{2}+8x=1$$

Selvitä 9x yhdistämällä x ja 8x.

$$9x-8x^{2}=1$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta.

$$9x-8x^{2}-1=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-8x^{2}+9x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -8, b luvulla 9 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-8\right)\left(-1\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Korota 9 neliöön.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-8\right)\left(-1\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Kerro -4 ja -8.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+32\left(-1\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Kerro 32 ja -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-32}}{2\left(-8\right)}$$

Lisää 81 lukuun -32.

$$x=\frac{-9±\sqrt{49}}{2\left(-8\right)}$$

Ota luvun 49 neliöjuuri.

$$x=\frac{-9±7}{2\left(-8\right)}$$

Kerro 2 ja -8.

$$x=\frac{-9±7}{-16}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±7}{-16}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -9 lukuun 7.

$$x=-\frac{2}{-16}$$

Supista murtoluku \frac{-2}{-16} luvulla 2.

$$x=\frac{1}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±7}{-16}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 7 luvusta -9.

$$x=-\frac{16}{-16}$$

Jaa -16 luvulla -16.

$$x=1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1}{8} x=1$$

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 1.

$$x=\frac{1}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 1, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x-1.

$$x=8x\left(x-1\right)+1$$

Laske lukujen 8x ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x=8x^{2}-8x+1$$

Vähennä 8x^{2} molemmilta puolilta.

$$x-8x^{2}=-8x+1$$

Lisää 8x molemmille puolille.

$$x-8x^{2}+8x=1$$

Selvitä 9x yhdistämällä x ja 8x.

$$9x-8x^{2}=1$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-8x^{2}+9x=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla -8.

$$\frac{-8x^{2}+9x}{-8}=\frac{1}{-8}$$

Jakaminen luvulla -8 kumoaa kertomisen luvulla -8.

$$x^{2}+\frac{9}{-8}x=\frac{1}{-8}$$

Jaa 9 luvulla -8.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x=\frac{1}{-8}$$

Jaa 1 luvulla -8.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x=-\frac{1}{8}$$

Jaa -\frac{9}{8} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{16}. Lisää sitten -\frac{9}{16}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\left(-\frac{9}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{8}+\left(-\frac{9}{16}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{16} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}=-\frac{1}{8}+\frac{81}{256}$$

Lisää -\frac{1}{8} lukuun \frac{81}{256} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}=\frac{49}{256}$$

Jaa x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{16}\right)^{2}=\frac{49}{256}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{256}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{9}{16}=\frac{7}{16} x-\frac{9}{16}=-\frac{7}{16}$$

Lisää \frac{9}{16} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=1 x=\frac{1}{8}$$

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 1.

$$x=\frac{1}{8}$$