Ratkaise muuttujan x, y suhteen
x=14
y=9
Kuvaaja
Jakaa
Kopioitu leikepöydälle
3x+7y=105
Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 21, joka on lukujen 7,3 pienin yhteinen jaettava.
-x+42y=364
Tarkastele toista yhtälöä. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 14.
3x+7y=105,-x+42y=364
Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.
3x+7y=105
Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.
3x=-7y+105
Vähennä 7y yhtälön molemmilta puolilta.
x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)
Jaa molemmat puolet luvulla 3.
x=-\frac{7}{3}y+35
Kerro \frac{1}{3} ja -7y+105.
-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364
Korvaa x arvolla -\frac{7y}{3}+35 toisessa yhtälössä, -x+42y=364.
\frac{7}{3}y-35+42y=364
Kerro -1 ja -\frac{7y}{3}+35.
\frac{133}{3}y-35=364
Lisää \frac{7y}{3} lukuun 42y.
\frac{133}{3}y=399
Lisää 35 yhtälön kummallekin puolelle.
y=9
Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla \frac{133}{3}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.
x=-\frac{7}{3}\times 9+35
Korvaa y arvolla 9 yhtälössä x=-\frac{7}{3}y+35. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.
x=-21+35
Kerro -\frac{7}{3} ja 9.
x=14
Lisää 35 lukuun -21.
x=14,y=9
Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.
3x+7y=105
Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 21, joka on lukujen 7,3 pienin yhteinen jaettava.
-x+42y=364
Tarkastele toista yhtälöä. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 14.
3x+7y=105,-x+42y=364
Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.
\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)
Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.
inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)
Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)
Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)
Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)
Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)
Tee laskutoimitus.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)
Kerro matriisit.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)
Tee laskutoimitus.
x=14,y=9
Etsi matriisin alkiot x ja y.
3x+7y=105
Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 21, joka on lukujen 7,3 pienin yhteinen jaettava.
-x+42y=364
Tarkastele toista yhtälöä. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 14.
3x+7y=105,-x+42y=364
Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.
-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364
Jos haluat saada luvut 3x ja -x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla -1 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 3.
-3x-7y=-105,-3x+126y=1092
Sievennä.
-3x+3x-7y-126y=-105-1092
Vähennä -3x+126y=1092 lausekkeesta -3x-7y=-105 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.
-7y-126y=-105-1092
Lisää -3x lukuun 3x. Termit -3x ja 3x kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.
-133y=-105-1092
Lisää -7y lukuun -126y.
-133y=-1197
Lisää -105 lukuun -1092.
y=9
Jaa molemmat puolet luvulla -133.
-x+42\times 9=364
Korvaa y arvolla 9 yhtälössä -x+42y=364. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.
-x+378=364
Kerro 42 ja 9.
-x=-14
Vähennä 378 yhtälön molemmilta puolilta.
x=14
Jaa molemmat puolet luvulla -1.
x=14,y=9
Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.
Esimerkkejä
Toisen asteen yhtälö
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometria
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Ensimmäisen asteen yhtälö
y = 3x + 4
Aritmetiikka
699 * 533
Matriisi
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Samanaikainen kaava
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Erilaistuminen
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integraatio
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Rajoitukset
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}