Ratkaise x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x=14$$

$$y=9$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 21, joka on lukujen 7,3 pienin yhteinen jaettava.

$$3x+7y=105$$

Tarkastele toista yhtälöä. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 14.

$$-x+42y=364$$

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$3x+7y=105$$

Vähennä 7y yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x=-7y+105$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Kerro \frac{1}{3} ja -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Korvaa x arvolla -\frac{7y}{3}+35 toisessa yhtälössä, -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Kerro -1 ja -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Lisää \frac{7y}{3} lukuun 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Lisää 35 yhtälön kummallekin puolelle.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla \frac{133}{3}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$y=9$$

Korvaa y arvolla 9 yhtälössä x=-\frac{7}{3}y+35. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Kerro -\frac{7}{3} ja 9.

$$x=-21+35$$

Lisää 35 lukuun -21.

$$x=14$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=14,y=9$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 21, joka on lukujen 7,3 pienin yhteinen jaettava.

$$3x+7y=105$$

Tarkastele toista yhtälöä. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 14.

$$-x+42y=364$$

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

2\times 2-matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) käänteismatriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisiyhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen matriisikertolaskuna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=14,y=9$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 21, joka on lukujen 7,3 pienin yhteinen jaettava.

$$3x+7y=105$$

Tarkastele toista yhtälöä. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 14.

$$-x+42y=364$$

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Jos haluat saada luvut 3x ja -x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla -1 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Sievennä.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Vähennä -3x+126y=1092 lausekkeesta -3x-7y=-105 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Lisää -3x lukuun 3x. Termit -3x ja 3x kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Lisää -7y lukuun -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Lisää -105 lukuun -1092.

$$-133y=-1197$$

Jaa molemmat puolet luvulla -133.

$$y=9$$

Korvaa y arvolla 9 yhtälössä -x+42y=364. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$-x+42\times 9=364$$

Kerro 42 ja 9.

$$-x+378=364$$

Vähennä 378 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-x=-14$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$x=14$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=14,y=9$$