Ratkaise x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x=15$$

$$y=12$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 20, joka on lukujen 5,4 pienin yhteinen jaettava.

$$4x=5y$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Kerro \frac{1}{4} ja 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Korvaa x arvolla \frac{5y}{4} toisessa yhtälössä, -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Lisää -\frac{5y}{4} lukuun y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Kerro molemmat puolet luvulla -4.

$$y=12$$

Korvaa y arvolla 12 yhtälössä x=\frac{5}{4}y. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Kerro \frac{5}{4} ja 12.

$$x=15$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=15,y=12$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 20, joka on lukujen 5,4 pienin yhteinen jaettava.

$$4x=5y$$

Vähennä 5y molemmilta puolilta.

$$4x-5y=0$$

Tarkastele toista yhtälöä. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 3.

$$y=x-3$$

Vähennä x molemmilta puolilta.

$$y-x=-3$$

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=15,y=12$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 20, joka on lukujen 5,4 pienin yhteinen jaettava.

$$4x=5y$$

Vähennä 5y molemmilta puolilta.

$$4x-5y=0$$

Tarkastele toista yhtälöä. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 3.

$$y=x-3$$

Vähennä x molemmilta puolilta.

$$y-x=-3$$

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Jos haluat saada luvut 4x ja -x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla -1 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Sievennä.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Vähennä -4x+4y=-12 lausekkeesta -4x+5y=0 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Lisää -4x lukuun 4x. Termit -4x ja 4x kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$5y-4y=12$$

Lisää 5y lukuun -4y.

$$y=12$$

Korvaa y arvolla 12 yhtälössä -x+y=-3. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$-x+12=-3$$

Vähennä 12 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-x=-15$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$x=15$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=15,y=12$$