Ratkaise x/2x+1+2x+1/x-1=2

$$\frac { x } { 2 x + 1 } + \frac { 2 x + 1 } { x - 1 } = 2$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{13}-5}{2}\approx -0,697224362$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-5}{2}\approx -4,302775638$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -\frac{1}{2},1, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-1\right)\left(2x+1\right), joka on lukujen 2x+1,x-1 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x-1\right)x+\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Kerro 2x+1 ja 2x+1, niin saadaan \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)x+\left(2x+1\right)^{2}=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Laske lukujen x-1 ja x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x^{2}-x+\left(2x+1\right)^{2}=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(2x+1\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}-x+4x^{2}+4x+1=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Selvitä 5x^{2} yhdistämällä x^{2} ja 4x^{2}.

$$5x^{2}-x+4x+1=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Selvitä 3x yhdistämällä -x ja 4x.

$$5x^{2}+3x+1=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Laske lukujen 2 ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$5x^{2}+3x+1=\left(2x-2\right)\left(2x+1\right)$$

Laske lukujen 2x-2 ja 2x+1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$5x^{2}+3x+1=4x^{2}-2x-2$$

Vähennä 4x^{2} molemmilta puolilta.

$$5x^{2}+3x+1-4x^{2}=-2x-2$$

Selvitä x^{2} yhdistämällä 5x^{2} ja -4x^{2}.

$$x^{2}+3x+1=-2x-2$$

Lisää 2x molemmille puolille.

$$x^{2}+3x+1+2x=-2$$

Selvitä 5x yhdistämällä 3x ja 2x.

$$x^{2}+5x+1=-2$$

Lisää 2 molemmille puolille.

$$x^{2}+5x+1+2=0$$

Selvitä 3 laskemalla yhteen 1 ja 2.

$$x^{2}+5x+3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 5 ja c luvulla 3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3}}{2}$$

Korota 5 neliöön.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3}}{2}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12}}{2}$$

Lisää 25 lukuun -12.

$$x=\frac{-5±\sqrt{13}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{13}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -5 lukuun \sqrt{13}.

$$x=\frac{\sqrt{13}-5}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{13}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{13} luvusta -5.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-5}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{13}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{13}-5}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -\frac{1}{2},1, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-1\right)\left(2x+1\right), joka on lukujen 2x+1,x-1 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x-1\right)x+\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Kerro 2x+1 ja 2x+1, niin saadaan \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)x+\left(2x+1\right)^{2}=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Laske lukujen x-1 ja x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x^{2}-x+\left(2x+1\right)^{2}=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(2x+1\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}-x+4x^{2}+4x+1=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Selvitä 5x^{2} yhdistämällä x^{2} ja 4x^{2}.

$$5x^{2}-x+4x+1=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Selvitä 3x yhdistämällä -x ja 4x.

$$5x^{2}+3x+1=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Laske lukujen 2 ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$5x^{2}+3x+1=\left(2x-2\right)\left(2x+1\right)$$

Laske lukujen 2x-2 ja 2x+1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$5x^{2}+3x+1=4x^{2}-2x-2$$

Vähennä 4x^{2} molemmilta puolilta.

$$5x^{2}+3x+1-4x^{2}=-2x-2$$

Selvitä x^{2} yhdistämällä 5x^{2} ja -4x^{2}.

$$x^{2}+3x+1=-2x-2$$

Lisää 2x molemmille puolille.

$$x^{2}+3x+1+2x=-2$$

Selvitä 5x yhdistämällä 3x ja 2x.

$$x^{2}+5x+1=-2$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta.

$$x^{2}+5x=-2-1$$

Vähennä 1 luvusta -2 saadaksesi tuloksen -3.

$$x^{2}+5x=-3$$

Jaa 5 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{2}. Lisää sitten \frac{5}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-3+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-3+\frac{25}{4}$$

Lisää -3 lukuun \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{13}{4}$$

Jaa x^{2}+5x+\frac{25}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{13}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{13}}{2}$$

Vähennä \frac{5}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{13}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{13}-5}{2}$$