Ratkaise x^2-4x-1/(x^2+1)^2=0

$$\frac { x ^ { 2 } - 4 x - 1 } { ( x ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{5}+2\approx 4,236067977$$

$$x=2-\sqrt{5}\approx -0,236067977$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x^{2}+1\right)^{2}.

$$x^{2}-4x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -4 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-1\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+4}}{2}$$

Lisää 16 lukuun 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{20}}{2}$$

Ota luvun 20 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{5}}{2}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+4}{2}$$

Jaa 4+2\sqrt{5} luvulla 2.

$$x=\sqrt{5}+2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{5} luvusta 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{5}}{2}$$

Jaa 4-2\sqrt{5} luvulla 2.

$$x=2-\sqrt{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x^{2}+1\right)^{2}.

$$x^{2}-4x-1=0$$

Lisää 1 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$x^{2}-4x=1$$

Jaa -4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -2. Lisää sitten -2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=1+\left(-2\right)^{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x^{2}-4x+4=1+4$$

Lisää 1 lukuun 4.

$$x^{2}-4x+4=5$$

Jaa x^{2}-4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=5$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Sievennä.

$$x-2=\sqrt{5} x-2=-\sqrt{5}$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$