Ratkaise x^2-2/x^2+x-2+3x+2/x^2-4=1-x+2/x^2-3x+2

$$\frac { x ^ { 2 } - 2 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 3 x + 2 } { x ^ { 2 } - 4 } = 1 - \frac { x + 2 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=-1$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -2,1,2, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right), joka on lukujen x^{2}+x-2,x^{2}-4,x^{2}-3x+2 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\left(x+2\right)$$

Kerro x+2 ja x+2, niin saadaan \left(x+2\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Laske lukujen x-2 ja x^{2}-2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Laske lukujen x-1 ja 3x+2 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+3x^{2}-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Selvitä x^{2} yhdistämällä -2x^{2} ja 3x^{2}.

$$x^{3}-2x+x^{2}+4-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Selvitä -3x yhdistämällä -2x ja -x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+4-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Vähennä 2 luvusta 4 saadaksesi tuloksen 2.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Laske lukujen x-2 ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x^{2}-3x+2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Laske lukujen x^{2}-3x+2 ja x+2 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x+2\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+2\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x^{2}+4x+4\right)$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen x^{2}+4x+4 vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-x^{2}-4x-4$$

Selvitä -2x^{2} yhdistämällä -x^{2} ja -x^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-4x+4-4x-4$$

Selvitä -8x yhdistämällä -4x ja -4x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x+4-4$$

Vähennä 4 luvusta 4 saadaksesi tuloksen 0.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x$$

Vähennä x^{3} molemmilta puolilta.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2-x^{3}=-2x^{2}-8x$$

Selvitä 0 yhdistämällä x^{3} ja -x^{3}.

$$-3x+x^{2}+2=-2x^{2}-8x$$

Lisää 2x^{2} molemmille puolille.

$$-3x+x^{2}+2+2x^{2}=-8x$$

Selvitä 3x^{2} yhdistämällä x^{2} ja 2x^{2}.

$$-3x+3x^{2}+2=-8x$$

Lisää 8x molemmille puolille.

$$-3x+3x^{2}+2+8x=0$$

Selvitä 5x yhdistämällä -3x ja 8x.

$$5x+3x^{2}+2=0$$

Järjestä polynomi perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$3x^{2}+5x+2=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 3x^{2}+ax+bx+2. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=5 ab=3\times 2=6$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 6.

$$1,6 2,3$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+6=7 2+3=5$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 5.

$$a=2 b=3$$

Kirjoita \left(3x^{2}+2x\right)+\left(3x+2\right) uudelleen muodossa 3x^{2}+5x+2.

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(3x+2\right)$$

Ota x tekijäksi lausekkeessa 3x^{2}+2x.

$$x\left(3x+2\right)+3x+2$$

Jaa yleinen termi 3x+2 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3x+2\right)\left(x+1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 3x+2=0 ja x+1=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -2,1,2, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right), joka on lukujen x^{2}+x-2,x^{2}-4,x^{2}-3x+2 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\left(x+2\right)$$

Kerro x+2 ja x+2, niin saadaan \left(x+2\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Laske lukujen x-2 ja x^{2}-2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Laske lukujen x-1 ja 3x+2 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+3x^{2}-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Selvitä x^{2} yhdistämällä -2x^{2} ja 3x^{2}.

$$x^{3}-2x+x^{2}+4-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Selvitä -3x yhdistämällä -2x ja -x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+4-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Vähennä 2 luvusta 4 saadaksesi tuloksen 2.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Laske lukujen x-2 ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x^{2}-3x+2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Laske lukujen x^{2}-3x+2 ja x+2 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x+2\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+2\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x^{2}+4x+4\right)$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen x^{2}+4x+4 vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-x^{2}-4x-4$$

Selvitä -2x^{2} yhdistämällä -x^{2} ja -x^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-4x+4-4x-4$$

Selvitä -8x yhdistämällä -4x ja -4x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x+4-4$$

Vähennä 4 luvusta 4 saadaksesi tuloksen 0.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x$$

Vähennä x^{3} molemmilta puolilta.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2-x^{3}=-2x^{2}-8x$$

Selvitä 0 yhdistämällä x^{3} ja -x^{3}.

$$-3x+x^{2}+2=-2x^{2}-8x$$

Lisää 2x^{2} molemmille puolille.

$$-3x+x^{2}+2+2x^{2}=-8x$$

Selvitä 3x^{2} yhdistämällä x^{2} ja 2x^{2}.

$$-3x+3x^{2}+2=-8x$$

Lisää 8x molemmille puolille.

$$-3x+3x^{2}+2+8x=0$$

Selvitä 5x yhdistämällä -3x ja 8x.

$$5x+3x^{2}+2=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+5x+2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 5 ja c luvulla 2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Korota 5 neliöön.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\times 2}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\times 3}$$

Lisää 25 lukuun -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Ota luvun 1 neliöjuuri.

$$x=\frac{-5±1}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-5±1}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±1}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -5 lukuun 1.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Supista murtoluku \frac{-4}{6} luvulla 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±1}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 1 luvusta -5.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Jaa -6 luvulla 6.

$$x=-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -2,1,2, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right), joka on lukujen x^{2}+x-2,x^{2}-4,x^{2}-3x+2 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\left(x+2\right)$$

Kerro x+2 ja x+2, niin saadaan \left(x+2\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Laske lukujen x-2 ja x^{2}-2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Laske lukujen x-1 ja 3x+2 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+3x^{2}-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Selvitä x^{2} yhdistämällä -2x^{2} ja 3x^{2}.

$$x^{3}-2x+x^{2}+4-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Selvitä -3x yhdistämällä -2x ja -x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+4-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Vähennä 2 luvusta 4 saadaksesi tuloksen 2.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Laske lukujen x-2 ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x^{2}-3x+2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Laske lukujen x^{2}-3x+2 ja x+2 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x+2\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+2\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x^{2}+4x+4\right)$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen x^{2}+4x+4 vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-x^{2}-4x-4$$

Selvitä -2x^{2} yhdistämällä -x^{2} ja -x^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-4x+4-4x-4$$

Selvitä -8x yhdistämällä -4x ja -4x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x+4-4$$

Vähennä 4 luvusta 4 saadaksesi tuloksen 0.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x$$

Vähennä x^{3} molemmilta puolilta.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2-x^{3}=-2x^{2}-8x$$

Selvitä 0 yhdistämällä x^{3} ja -x^{3}.

$$-3x+x^{2}+2=-2x^{2}-8x$$

Lisää 2x^{2} molemmille puolille.

$$-3x+x^{2}+2+2x^{2}=-8x$$

Selvitä 3x^{2} yhdistämällä x^{2} ja 2x^{2}.

$$-3x+3x^{2}+2=-8x$$

Lisää 8x molemmille puolille.

$$-3x+3x^{2}+2+8x=0$$

Selvitä 5x yhdistämällä -3x ja 8x.

$$5x+3x^{2}+2=0$$

Vähennä 2 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$5x+3x^{2}=-2$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=-2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=-\frac{2}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{2}{3}$$

Jaa \frac{5}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{6}. Lisää sitten \frac{5}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{2}{3}+\frac{25}{36}$$

Lisää -\frac{2}{3} lukuun \frac{25}{36} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{36}$$

Jaa x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{1}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}$$

Vähennä \frac{5}{6} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$