Ratkaise x^2/9-4/3x=-2

$$\frac { x ^ { 2 } } { 9 } - \frac { 4 } { 3 } x = - 2$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=3\sqrt{2}+6\approx 10,242640687$$

$$x=6-3\sqrt{2}\approx 1,757359313$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=-2-\left(-2\right)$$

Kun luku -2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=0$$

Vähennä -2 luvusta 0.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x+2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla \frac{1}{9}, b luvulla -\frac{4}{3} ja c luvulla 2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Korota -\frac{4}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Kerro -4 ja \frac{1}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-\frac{4}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Kerro -\frac{4}{9} ja 2.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16-8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Lisää \frac{16}{9} lukuun -\frac{8}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Ota luvun \frac{8}{9} neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Luvun -\frac{4}{3} vastaluku on \frac{4}{3}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Kerro 2 ja \frac{1}{9}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää \frac{4}{3} lukuun \frac{2\sqrt{2}}{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+4}{\frac{2}{9}\times 3}$$

Jaa \frac{4+2\sqrt{2}}{3} luvulla \frac{2}{9} kertomalla \frac{4+2\sqrt{2}}{3} luvun \frac{2}{9} käänteisluvulla.

$$x=3\sqrt{2}+6$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{2\sqrt{2}}{3} luvusta \frac{4}{3}.

$$x=\frac{4-2\sqrt{2}}{\frac{2}{9}\times 3}$$

Jaa \frac{4-2\sqrt{2}}{3} luvulla \frac{2}{9} kertomalla \frac{4-2\sqrt{2}}{3} luvun \frac{2}{9} käänteisluvulla.

$$x=6-3\sqrt{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

Kerro molemmat puolet luvulla 9.

$$\frac{\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x}{\frac{1}{9}}=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Jakaminen luvulla \frac{1}{9} kumoaa kertomisen luvulla \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{9}}\right)x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Jaa -\frac{4}{3} luvulla \frac{1}{9} kertomalla -\frac{4}{3} luvun \frac{1}{9} käänteisluvulla.

$$x^{2}-12x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Jaa -2 luvulla \frac{1}{9} kertomalla -2 luvun \frac{1}{9} käänteisluvulla.

$$x^{2}-12x=-18$$

Jaa -12 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -6. Lisää sitten -6:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-18+\left(-6\right)^{2}$$

Korota -6 neliöön.

$$x^{2}-12x+36=-18+36$$

Lisää -18 lukuun 36.

$$x^{2}-12x+36=18$$

Jaa x^{2}-12x+36 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=18$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{18}$$

Sievennä.

$$x-6=3\sqrt{2} x-6=-3\sqrt{2}$$

Lisää 6 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$