Ratkaise x^2/4-x+5=0

$$\frac { x ^ { 2 } } { 4 } - x + 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=2+4i$$

$$x=2-4i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$\frac{1}{4}x^{2}-x+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla \frac{1}{4}, b luvulla -1 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times \frac{1}{4}\times 5}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Kerro -4 ja \frac{1}{4}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-5}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Lisää 1 lukuun -5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-4}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Ota luvun -4 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±2i}{2\times \frac{1}{4}}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$x=\frac{1±2i}{2\times \frac{1}{4}}$$

Kerro 2 ja \frac{1}{4}.

$$x=\frac{1±2i}{\frac{1}{2}}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±2i}{\frac{1}{2}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun 2i.

$$x=\frac{1+2i}{\frac{1}{2}}$$

Jaa 1+2i luvulla \frac{1}{2} kertomalla 1+2i luvun \frac{1}{2} käänteisluvulla.

$$x=2+4i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±2i}{\frac{1}{2}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i luvusta 1.

$$x=\frac{1-2i}{\frac{1}{2}}$$

Jaa 1-2i luvulla \frac{1}{2} kertomalla 1-2i luvun \frac{1}{2} käänteisluvulla.

$$x=2-4i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=2+4i x=2-4i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{4}x^{2}-x+5=0$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$\frac{1}{4}x^{2}-x+5-5=-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$\frac{1}{4}x^{2}-x=-5$$

Kerro molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{\frac{1}{4}x^{2}-x}{\frac{1}{4}}=-\frac{5}{\frac{1}{4}}$$

Jakaminen luvulla \frac{1}{4} kumoaa kertomisen luvulla \frac{1}{4}.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{\frac{1}{4}}\right)x=-\frac{5}{\frac{1}{4}}$$

Jaa -1 luvulla \frac{1}{4} kertomalla -1 luvun \frac{1}{4} käänteisluvulla.

$$x^{2}-4x=-\frac{5}{\frac{1}{4}}$$

Jaa -5 luvulla \frac{1}{4} kertomalla -5 luvun \frac{1}{4} käänteisluvulla.

$$x^{2}-4x=-20$$

Jaa -4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -2. Lisää sitten -2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-20+\left(-2\right)^{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x^{2}-4x+4=-20+4$$

Lisää -20 lukuun 4.

$$x^{2}-4x+4=-16$$

Jaa x^{2}-4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=-16$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-16}$$

Sievennä.

$$x-2=4i x-2=-4i$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=2+4i x=2-4i$$