Ratkaise x+1/x^2-x=2

$$\frac { x + 1 } { x ^ { 2 } - x } = 2$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{17} + 3}{4} \approx 1,780776406$$

$$x=\frac{3-\sqrt{17}}{4}\approx -0,280776406$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista 0,1, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x\left(x-1\right).

$$x+1=2x\left(x-1\right)$$

Laske lukujen 2x ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x+1=2x^{2}-2x$$

Vähennä 2x^{2} molemmilta puolilta.

$$x+1-2x^{2}=-2x$$

Lisää 2x molemmille puolille.

$$x+1-2x^{2}+2x=0$$

Selvitä 3x yhdistämällä x ja 2x.

$$3x+1-2x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-2x^{2}+3x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -2, b luvulla 3 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro -4 ja -2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+8}}{2\left(-2\right)}$$

Lisää 9 lukuun 8.

$$x=\frac{-3±\sqrt{17}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 2 ja -2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{17}}{-4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{17}}{-4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun \sqrt{17}.

$$x=\frac{\sqrt{17}-3}{-4}$$

Jaa -3+\sqrt{17} luvulla -4.

$$x=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{17}}{-4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{17} luvusta -3.

$$x=\frac{-\sqrt{17}-3}{-4}$$

Jaa -3-\sqrt{17} luvulla -4.

$$x=\frac{\sqrt{17}+3}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3-\sqrt{17}}{4} x=\frac{\sqrt{17}+3}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista 0,1, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x\left(x-1\right).

$$x+1=2x\left(x-1\right)$$

Laske lukujen 2x ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x+1=2x^{2}-2x$$

Vähennä 2x^{2} molemmilta puolilta.

$$x+1-2x^{2}=-2x$$

Lisää 2x molemmille puolille.

$$x+1-2x^{2}+2x=0$$

Selvitä 3x yhdistämällä x ja 2x.

$$3x+1-2x^{2}=0$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$3x-2x^{2}=-1$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+3x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2.

$$\frac{-2x^{2}+3x}{-2}=-\frac{1}{-2}$$

Jakaminen luvulla -2 kumoaa kertomisen luvulla -2.

$$x^{2}+\frac{3}{-2}x=-\frac{1}{-2}$$

Jaa 3 luvulla -2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{1}{-2}$$

Jaa -1 luvulla -2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{1}{2}$$

Jaa -\frac{3}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{4}. Lisää sitten -\frac{3}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$$

Lisää \frac{1}{2} lukuun \frac{9}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{17}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{17}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{17}}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{17}}{4}$$

Lisää \frac{3}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{17}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$$