Ratkaise x+1/2+y-1/3=9quadtext{sert}quadx-1/3+y+1/2=8

$$\frac { x + 1 } { 2 } + \frac { y - 1 } { 3 } = 9 \quad \text { sert } \quad \frac { x - 1 } { 3 } + \frac { y + 1 } { 2 } = 8$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x=13$$

$$y=7$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=9,\frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=8$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=9$$

Kerro \frac{1}{2} ja x+1.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=9$$

Kerro \frac{1}{3} ja y-1.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}=9$$

Lisää \frac{1}{2} lukuun -\frac{1}{3} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}=9$$

Vähennä \frac{1}{6} yhtälön molemmilta puolilta.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{53}{6}$$

Vähennä \frac{y}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{1}{3}y+\frac{53}{6}$$

Kerro molemmat puolet luvulla 2.

$$x=2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{53}{6}\right)$$

Kerro 2 ja -\frac{y}{3}+\frac{53}{6}.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{53}{3}$$

Korvaa x arvolla \frac{-2y+53}{3} toisessa yhtälössä, \frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=8.

$$\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}y+\frac{53}{3}-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=8$$

Lisää \frac{53}{3} lukuun -1.

$$\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}y+\frac{50}{3}\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=8$$

Kerro \frac{1}{3} ja \frac{-2y+50}{3}.

$$-\frac{2}{9}y+\frac{50}{9}+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=8$$

Kerro \frac{1}{2} ja y+1.

$$-\frac{2}{9}y+\frac{50}{9}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=8$$

Lisää -\frac{2y}{9} lukuun \frac{y}{2}.

$$\frac{5}{18}y+\frac{50}{9}+\frac{1}{2}=8$$

Lisää \frac{50}{9} lukuun \frac{1}{2} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$\frac{5}{18}y+\frac{109}{18}=8$$

Vähennä \frac{109}{18} yhtälön molemmilta puolilta.

$$\frac{5}{18}y=\frac{35}{18}$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla \frac{5}{18}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$y=7$$

Korvaa y arvolla 7 yhtälössä x=-\frac{2}{3}y+\frac{53}{3}. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=-\frac{2}{3}\times 7+\frac{53}{3}$$

Kerro -\frac{2}{3} ja 7.

$$x=\frac{-14+53}{3}$$

Lisää \frac{53}{3} lukuun -\frac{14}{3} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=13$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=13,y=7$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=9,\frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=8$$

Muunna ensimmäinen yhtälö perusmuotoon sieventämällä se.

$$\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=9$$

Kerro \frac{1}{2} ja x+1.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=9$$

Kerro \frac{1}{3} ja y-1.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}=9$$

Lisää \frac{1}{2} lukuun -\frac{1}{3} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}=9$$

Vähennä \frac{1}{6} yhtälön molemmilta puolilta.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{53}{6}$$

Muunna toinen yhtälö perusmuotoon sieventämällä se.

$$\frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=8$$

Kerro \frac{1}{3} ja x-1.

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=8$$

Kerro \frac{1}{2} ja y+1.

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=8$$

Lisää -\frac{1}{3} lukuun \frac{1}{2} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}=8$$

Vähennä \frac{1}{6} yhtälön molemmilta puolilta.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=\frac{47}{6}$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{47}{6}\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{47}{6}\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{47}{6}\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{47}{6}\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\\-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{47}{6}\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}&-\frac{12}{5}\\-\frac{12}{5}&\frac{18}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{47}{6}\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\times \frac{53}{6}-\frac{12}{5}\times \frac{47}{6}\\-\frac{12}{5}\times \frac{53}{6}+\frac{18}{5}\times \frac{47}{6}\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\7\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=13,y=7$$