Ratkaise u+2/u-4-1=u+1/u-3

$$\frac { u + 2 } { u - 4 } - 1 = \frac { u + 1 } { u - 3 }$$

Ratkaise muuttujan u suhteen

$$u=2$$

$$u=7$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja u ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista 3,4, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(u-4\right)\left(u-3\right), joka on lukujen u-4,u-3 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(u-3\right)\left(u+2\right)+\left(u-4\right)\left(u-3\right)\left(-1\right)=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Laske lukujen u-3 ja u+2 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$u^{2}-u-6+\left(u-4\right)\left(u-3\right)\left(-1\right)=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Laske lukujen u-4 ja u-3 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$u^{2}-u-6+\left(u^{2}-7u+12\right)\left(-1\right)=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Laske lukujen u^{2}-7u+12 ja -1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$u^{2}-u-6-u^{2}+7u-12=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Selvitä 0 yhdistämällä u^{2} ja -u^{2}.

$$-u-6+7u-12=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Selvitä 6u yhdistämällä -u ja 7u.

$$6u-6-12=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Vähennä 12 luvusta -6 saadaksesi tuloksen -18.

$$6u-18=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Laske lukujen u-4 ja u+1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$6u-18=u^{2}-3u-4$$

Vähennä u^{2} molemmilta puolilta.

$$6u-18-u^{2}=-3u-4$$

Lisää 3u molemmille puolille.

$$6u-18-u^{2}+3u=-4$$

Selvitä 9u yhdistämällä 6u ja 3u.

$$9u-18-u^{2}=-4$$

Lisää 4 molemmille puolille.

$$9u-18-u^{2}+4=0$$

Selvitä -14 laskemalla yhteen -18 ja 4.

$$9u-14-u^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-u^{2}+9u-14=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 9 ja c luvulla -14 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$u=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-1\right)\left(-14\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 9 neliöön.

$$u=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-1\right)\left(-14\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$u=\frac{-9±\sqrt{81+4\left(-14\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -14.

$$u=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 81 lukuun -56.

$$u=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 25 neliöjuuri.

$$u=\frac{-9±5}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$u=\frac{-9±5}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö u=\frac{-9±5}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -9 lukuun 5.

$$u=-\frac{4}{-2}$$

Jaa -4 luvulla -2.

$$u=2$$

Ratkaise nyt yhtälö u=\frac{-9±5}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 5 luvusta -9.

$$u=-\frac{14}{-2}$$

Jaa -14 luvulla -2.

$$u=7$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$u=2 u=7$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja u ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista 3,4, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(u-4\right)\left(u-3\right), joka on lukujen u-4,u-3 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(u-3\right)\left(u+2\right)+\left(u-4\right)\left(u-3\right)\left(-1\right)=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Laske lukujen u-3 ja u+2 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$u^{2}-u-6+\left(u-4\right)\left(u-3\right)\left(-1\right)=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Laske lukujen u-4 ja u-3 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$u^{2}-u-6+\left(u^{2}-7u+12\right)\left(-1\right)=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Laske lukujen u^{2}-7u+12 ja -1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$u^{2}-u-6-u^{2}+7u-12=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Selvitä 0 yhdistämällä u^{2} ja -u^{2}.

$$-u-6+7u-12=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Selvitä 6u yhdistämällä -u ja 7u.

$$6u-6-12=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Vähennä 12 luvusta -6 saadaksesi tuloksen -18.

$$6u-18=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Laske lukujen u-4 ja u+1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$6u-18=u^{2}-3u-4$$

Vähennä u^{2} molemmilta puolilta.

$$6u-18-u^{2}=-3u-4$$

Lisää 3u molemmille puolille.

$$6u-18-u^{2}+3u=-4$$

Selvitä 9u yhdistämällä 6u ja 3u.

$$9u-18-u^{2}=-4$$

Lisää 18 molemmille puolille.

$$9u-u^{2}=-4+18$$

Selvitä 14 laskemalla yhteen -4 ja 18.

$$9u-u^{2}=14$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-u^{2}+9u=14$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-u^{2}+9u}{-1}=\frac{14}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$u^{2}+\frac{9}{-1}u=\frac{14}{-1}$$

Jaa 9 luvulla -1.

$$u^{2}-9u=\frac{14}{-1}$$

Jaa 14 luvulla -1.

$$u^{2}-9u=-14$$

Jaa -9 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{2}. Lisää sitten -\frac{9}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$u^{2}-9u+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=-14+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$u^{2}-9u+\frac{81}{4}=-14+\frac{81}{4}$$

Lisää -14 lukuun \frac{81}{4}.

$$u^{2}-9u+\frac{81}{4}=\frac{25}{4}$$

Jaa u^{2}-9u+\frac{81}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(u-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(u-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Sievennä.

$$u-\frac{9}{2}=\frac{5}{2} u-\frac{9}{2}=-\frac{5}{2}$$

Lisää \frac{9}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$u=7 u=2$$