Ratkaise f/11=g/33text{siendo}f+g=40

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } \text { siendo } f + g = 40$$

Ratkaise muuttujan f, g suhteen

$$f=10$$

$$g=30$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 33, joka on lukujen 11,33 pienin yhteinen jaettava.

$$3f=g$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$f=\frac{1}{3}g$$

Korvaa f arvolla \frac{g}{3} toisessa yhtälössä, f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

Lisää \frac{g}{3} lukuun g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla \frac{4}{3}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$g=30$$

Korvaa g arvolla 30 yhtälössä f=\frac{1}{3}g. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista f:n suoraan.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

Kerro \frac{1}{3} ja 30.

$$f=10$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$f=10,g=30$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 33, joka on lukujen 11,33 pienin yhteinen jaettava.

$$3f=g$$

Vähennä g molemmilta puolilta.

$$3f-g=0$$

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot f ja g.

$$f=10,g=30$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 33, joka on lukujen 11,33 pienin yhteinen jaettava.

$$3f=g$$

Vähennä g molemmilta puolilta.

$$3f-g=0$$

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Jos haluat saada luvut 3f ja f yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 1 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 3.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Sievennä.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

Vähennä 3f+3g=120 lausekkeesta 3f-g=0 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

Lisää 3f lukuun -3f. Termit 3f ja -3f kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$-g-3g=-120$$

Lisää -g lukuun -3g.

$$-4g=-120$$

Jaa molemmat puolet luvulla -4.

$$g=30$$

Korvaa g arvolla 30 yhtälössä f+g=40. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista f:n suoraan.

$$f+30=40$$

Vähennä 30 yhtälön molemmilta puolilta.

$$f=10$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$f=10,g=30$$