Ratkaise 60/x+10+60/x-10=8

$$\frac { 60 } { x + 10 } + \frac { 60 } { x - 10 } = 8$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-5$$

$$x=20$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -10,10, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-10\right)\left(x+10\right), joka on lukujen x+10,x-10 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x-10\right)\times 60+\left(x+10\right)\times 60=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Laske lukujen x-10 ja 60 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$60x-600+\left(x+10\right)\times 60=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Laske lukujen x+10 ja 60 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$60x-600+60x+600=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Selvitä 120x yhdistämällä 60x ja 60x.

$$120x-600+600=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Selvitä 0 laskemalla yhteen -600 ja 600.

$$120x=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Laske lukujen 8 ja x-10 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$120x=\left(8x-80\right)\left(x+10\right)$$

Laske lukujen 8x-80 ja x+10 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$120x=8x^{2}-800$$

Vähennä 8x^{2} molemmilta puolilta.

$$120x-8x^{2}=-800$$

Lisää 800 molemmille puolille.

$$120x-8x^{2}+800=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-8x^{2}+120x+800=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -8, b luvulla 120 ja c luvulla 800 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-120±\sqrt{120^{2}-4\left(-8\right)\times 800}}{2\left(-8\right)}$$

Korota 120 neliöön.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-4\left(-8\right)\times 800}}{2\left(-8\right)}$$

Kerro -4 ja -8.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400+32\times 800}}{2\left(-8\right)}$$

Kerro 32 ja 800.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400+25600}}{2\left(-8\right)}$$

Lisää 14400 lukuun 25600.

$$x=\frac{-120±\sqrt{40000}}{2\left(-8\right)}$$

Ota luvun 40000 neliöjuuri.

$$x=\frac{-120±200}{2\left(-8\right)}$$

Kerro 2 ja -8.

$$x=\frac{-120±200}{-16}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-120±200}{-16}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -120 lukuun 200.

$$x=\frac{80}{-16}$$

Jaa 80 luvulla -16.

$$x=-5$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-120±200}{-16}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 200 luvusta -120.

$$x=-\frac{320}{-16}$$

Jaa -320 luvulla -16.

$$x=20$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-5 x=20$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -10,10, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-10\right)\left(x+10\right), joka on lukujen x+10,x-10 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x-10\right)\times 60+\left(x+10\right)\times 60=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Laske lukujen x-10 ja 60 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$60x-600+\left(x+10\right)\times 60=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Laske lukujen x+10 ja 60 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$60x-600+60x+600=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Selvitä 120x yhdistämällä 60x ja 60x.

$$120x-600+600=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Selvitä 0 laskemalla yhteen -600 ja 600.

$$120x=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Laske lukujen 8 ja x-10 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$120x=\left(8x-80\right)\left(x+10\right)$$

Laske lukujen 8x-80 ja x+10 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$120x=8x^{2}-800$$

Vähennä 8x^{2} molemmilta puolilta.

$$120x-8x^{2}=-800$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-8x^{2}+120x=-800$$

Jaa molemmat puolet luvulla -8.

$$\frac{-8x^{2}+120x}{-8}=-\frac{800}{-8}$$

Jakaminen luvulla -8 kumoaa kertomisen luvulla -8.

$$x^{2}+\frac{120}{-8}x=-\frac{800}{-8}$$

Jaa 120 luvulla -8.

$$x^{2}-15x=-\frac{800}{-8}$$

Jaa -800 luvulla -8.

$$x^{2}-15x=100$$

Jaa -15 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{15}{2}. Lisää sitten -\frac{15}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=100+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{15}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=100+\frac{225}{4}$$

Lisää 100 lukuun \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{625}{4}$$

Jaa x^{2}-15x+\frac{225}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{625}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{25}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{25}{2}$$

Lisää \frac{15}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=20 x=-5$$