Ratkaise frac{6(k^{2}+1)^{2}-(3k^2-1)^2}{(3k^2+1)^2}=5/4

$$\frac { 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } - ( 3 k ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { ( 3 k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 5 } { 4 }$$

Ratkaise muuttujan k suhteen

$$k=-1$$

$$k=1$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 4\left(3k^{2}+1\right)^{2}, joka on lukujen \left(3k^{2}+1\right)^{2},4 pienin yhteinen jaettava.

$$4\left(6\left(k^{2}+1\right)^{2}-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(k^{2}+1\right)^{2} laajentamiseen.

$$4\left(6\left(\left(k^{2}\right)^{2}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Jos haluat korottaa potenssin uuteen potenssiin, kerro eksponentit. Kerro 2 ja 2 keskenään saadaksesi 4.

$$4\left(6\left(k^{4}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Laske lukujen 6 ja k^{4}+2k^{2}+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(3k^{2}-1\right)^{2} laajentamiseen.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9\left(k^{2}\right)^{2}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Jos haluat korottaa potenssin uuteen potenssiin, kerro eksponentit. Kerro 2 ja 2 keskenään saadaksesi 4.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9k^{4}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen 9k^{4}-6k^{2}+1 vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-9k^{4}+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Selvitä -3k^{4} yhdistämällä 6k^{4} ja -9k^{4}.

$$4\left(-3k^{4}+12k^{2}+6+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Selvitä 18k^{2} yhdistämällä 12k^{2} ja 6k^{2}.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+6-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Vähennä 1 luvusta 6 saadaksesi tuloksen 5.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+5\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Laske lukujen 4 ja -3k^{4}+18k^{2}+5 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(3k^{2}+1\right)^{2} laajentamiseen.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9\left(k^{2}\right)^{2}+6k^{2}+1\right)$$

Jos haluat korottaa potenssin uuteen potenssiin, kerro eksponentit. Kerro 2 ja 2 keskenään saadaksesi 4.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9k^{4}+6k^{2}+1\right)$$

Laske lukujen 5 ja 9k^{4}+6k^{2}+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=45k^{4}+30k^{2}+5$$

Vähennä 45k^{4} molemmilta puolilta.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20-45k^{4}=30k^{2}+5$$

Selvitä -57k^{4} yhdistämällä -12k^{4} ja -45k^{4}.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20=30k^{2}+5$$

Vähennä 30k^{2} molemmilta puolilta.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20-30k^{2}=5$$

Selvitä 42k^{2} yhdistämällä 72k^{2} ja -30k^{2}.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20=5$$

Vähennä 5 molemmilta puolilta.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20-5=0$$

Vähennä 5 luvusta 20 saadaksesi tuloksen 15.

$$-57k^{4}+42k^{2}+15=0$$

Korvaa k^{2} arvolla t.

$$-57t^{2}+42t+15=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan -57 tilalle a, muuttujan 42 tilalle b ja muuttujan 15 tilalle c.

$$t=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\left(-57\right)\times 15}}{-57\times 2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$t=\frac{-42±72}{-114}$$

Ratkaise yhtälö t=\frac{-42±72}{-114} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$t=-\frac{5}{19} t=1$$

Koska k=t^{2}, ratkaisuja haetaan arvioidaan k=±\sqrt{t} positiivista t.

$$k=1 k=-1$$

Ratkaise muuttujan k suhteen (complex solution)

$$k=\frac{\sqrt{95}i}{19}\approx 0,512989176i$$

$$k=-\frac{\sqrt{95}i}{19}\approx -0-0,512989176i$$

$$k=-1$$

$$k=1$$