Ratkaise 57/16t^2-85/16t=-250

$$\frac { 57 } { 16 } t ^ { 2 } - \frac { 85 } { 16 } t = - 250$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{114}\approx 0,745614035+8,343829954i$$

$$t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{114}\approx 0,745614035-8,343829954i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t=-250$$

Lisää 250 yhtälön kummallekin puolelle.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t-\left(-250\right)=-250-\left(-250\right)$$

Kun luku -250 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t-\left(-250\right)=0$$

Vähennä -250 luvusta 0.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t+250=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla \frac{57}{16}, b luvulla -\frac{85}{16} ja c luvulla 250 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{\left(-\frac{85}{16}\right)^{2}-4\times \frac{57}{16}\times 250}}{2\times \frac{57}{16}}$$

Korota -\frac{85}{16} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{\frac{7225}{256}-4\times \frac{57}{16}\times 250}}{2\times \frac{57}{16}}$$

Kerro -4 ja \frac{57}{16}.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{\frac{7225}{256}-\frac{57}{4}\times 250}}{2\times \frac{57}{16}}$$

Kerro -\frac{57}{4} ja 250.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{\frac{7225}{256}-\frac{7125}{2}}}{2\times \frac{57}{16}}$$

Lisää \frac{7225}{256} lukuun -\frac{7125}{2} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{-\frac{904775}{256}}}{2\times \frac{57}{16}}$$

Ota luvun -\frac{904775}{256} neliöjuuri.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{2\times \frac{57}{16}}$$

Luvun -\frac{85}{16} vastaluku on \frac{85}{16}.

$$t=\frac{\frac{85}{16}±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{2\times \frac{57}{16}}$$

Kerro 2 ja \frac{57}{16}.

$$t=\frac{\frac{85}{16}±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{\frac{57}{8}}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{\frac{85}{16}±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{\frac{57}{8}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää \frac{85}{16} lukuun \frac{5i\sqrt{36191}}{16}.

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{\frac{57}{8}\times 16}$$

Jaa \frac{85+5i\sqrt{36191}}{16} luvulla \frac{57}{8} kertomalla \frac{85+5i\sqrt{36191}}{16} luvun \frac{57}{8} käänteisluvulla.

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{114}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{\frac{85}{16}±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{\frac{57}{8}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{5i\sqrt{36191}}{16} luvusta \frac{85}{16}.

$$t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{\frac{57}{8}\times 16}$$

Jaa \frac{85-5i\sqrt{36191}}{16} luvulla \frac{57}{8} kertomalla \frac{85-5i\sqrt{36191}}{16} luvun \frac{57}{8} käänteisluvulla.

$$t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{114}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{114} t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{114}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t=-250$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla \frac{57}{16}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$\frac{\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t}{\frac{57}{16}}=-\frac{250}{\frac{57}{16}}$$

Jakaminen luvulla \frac{57}{16} kumoaa kertomisen luvulla \frac{57}{16}.

$$t^{2}+\left(-\frac{\frac{85}{16}}{\frac{57}{16}}\right)t=-\frac{250}{\frac{57}{16}}$$

Jaa -\frac{85}{16} luvulla \frac{57}{16} kertomalla -\frac{85}{16} luvun \frac{57}{16} käänteisluvulla.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t=-\frac{250}{\frac{57}{16}}$$

Jaa -250 luvulla \frac{57}{16} kertomalla -250 luvun \frac{57}{16} käänteisluvulla.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t=-\frac{4000}{57}$$

Jaa -\frac{85}{57} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{85}{114}. Lisää sitten -\frac{85}{114}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t+\left(-\frac{85}{114}\right)^{2}=-\frac{4000}{57}+\left(-\frac{85}{114}\right)^{2}$$

Korota -\frac{85}{114} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t+\frac{7225}{12996}=-\frac{4000}{57}+\frac{7225}{12996}$$

Lisää -\frac{4000}{57} lukuun \frac{7225}{12996} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t+\frac{7225}{12996}=-\frac{904775}{12996}$$

Jaa t^{2}-\frac{85}{57}t+\frac{7225}{12996} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{85}{114}\right)^{2}=-\frac{904775}{12996}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-\frac{85}{114}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{904775}{12996}}$$

Sievennä.

$$t-\frac{85}{114}=\frac{5\sqrt{36191}i}{114} t-\frac{85}{114}=-\frac{5\sqrt{36191}i}{114}$$

Lisää \frac{85}{114} yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{114} t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{114}$$