Ratkaise 5x/x^2-x-6

$$\frac { 5 x } { x ^ { 2 } - x - 6 }$$

Derivoi muuttujan x suhteen

$$-\frac{5\left(x^{2}+6\right)}{\left(\left(x-3\right)\left(x+2\right)\right)^{2}}$$

Vaiheet, joissa käytetään osamäärän derivaattasääntöä

Kun tarkastellaan kahta derivoituvaa funktiota, funktioiden osamäärän derivaatta on nimittäjä kertaa osoittajan derivaatta miinus osoittaja kertaa nimittäjän derivaatta ja tämä kaikki jaettuna nimittäjän neliöllä.

$$\frac{\left(x^{2}-x^{1}-6\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(5x^{1})-5x^{1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}-x^{1}-6)}{\left(x^{2}-x^{1}-6\right)^{2}}$$

Polynomin derivaatta on sen termien derivaattojen summa. Vakiotermin derivaatta on 0. Lausekkeen ax^{n} derivaatta on nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}-x^{1}-6\right)\times 5x^{1-1}-5x^{1}\left(2x^{2-1}-x^{1-1}\right)}{\left(x^{2}-x^{1}-6\right)^{2}}$$

Sievennä.

$$\frac{\left(x^{2}-x^{1}-6\right)\times 5x^{0}-5x^{1}\left(2x^{1}-x^{0}\right)}{\left(x^{2}-x^{1}-6\right)^{2}}$$

Kerro x^{2}-x^{1}-6 ja 5x^{0}.

$$\frac{x^{2}\times 5x^{0}-x^{1}\times 5x^{0}-6\times 5x^{0}-5x^{1}\left(2x^{1}-x^{0}\right)}{\left(x^{2}-x^{1}-6\right)^{2}}$$

Kerro 5x^{1} ja 2x^{1}-x^{0}.

$$\frac{x^{2}\times 5x^{0}-x^{1}\times 5x^{0}-6\times 5x^{0}-\left(5x^{1}\times 2x^{1}+5x^{1}\left(-1\right)x^{0}\right)}{\left(x^{2}-x^{1}-6\right)^{2}}$$

Jos haluat kertoa samankantaiset potenssit, laske niiden eksponentit yhteen.

$$\frac{5x^{2}-5x^{1}-6\times 5x^{0}-\left(5\times 2x^{1+1}+5\left(-1\right)x^{1}\right)}{\left(x^{2}-x^{1}-6\right)^{2}}$$

Sievennä.

$$\frac{5x^{2}-5x^{1}-30x^{0}-\left(10x^{2}-5x^{1}\right)}{\left(x^{2}-x^{1}-6\right)^{2}}$$

Yhdistä samanmuotoiset termit.

$$\frac{-5x^{2}-30x^{0}}{\left(x^{2}-x^{1}-6\right)^{2}}$$

Mille tahansa termille t pätee t^{1}=t.

$$\frac{-5x^{2}-30x^{0}}{\left(x^{2}-x-6\right)^{2}}$$

Luvulle t, joka ei ole 0, pätee t^{0}=1.

$$\frac{-5x^{2}-30}{\left(x^{2}-x-6\right)^{2}}$$

Laske

$$\frac{5x}{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}$$