Ratkaise 5-2x/3+4<3x-5/4*3x/2

$$\frac { 5 - 2 x } { 3 } + 4 < \frac { 3 x - 5 } { 4 } \cdot \frac { 3 x } { 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \left(-\infty,\frac{29-\sqrt{15529}}{54}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{15529}+29}{54},\infty\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 12, joka on lukujen 3,4,2 pienin yhteinen jaettava. Koska 12 on positiivinen, epäyhtälö suunta säilyy ennallaan.

$$4\left(5-2x\right)+48<3\left(3x-5\right)\times \frac{3x}{2}$$

Laske lukujen 4 ja 5-2x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$20-8x+48<3\left(3x-5\right)\times \frac{3x}{2}$$

Selvitä 68 laskemalla yhteen 20 ja 48.

$$68-8x<3\left(3x-5\right)\times \frac{3x}{2}$$

Ilmaise 3\times \frac{3x}{2} säännöllisenä murtolukuna.

$$68-8x<\frac{3\times 3x}{2}\left(3x-5\right)$$

Laske lukujen \frac{3\times 3x}{2} ja 3x-5 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$68-8x<3\times \frac{x\times 3^{2}}{2}x-5\times \frac{3\times 3x}{2}$$

Laske 3 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 9.

$$68-8x<3\times \frac{x\times 9}{2}x-5\times \frac{3\times 3x}{2}$$

Ilmaise 3\times \frac{x\times 9}{2} säännöllisenä murtolukuna.

$$68-8x<\frac{3x\times 9}{2}x-5\times \frac{3\times 3x}{2}$$

Ilmaise \frac{3x\times 9}{2}x säännöllisenä murtolukuna.

$$68-8x<\frac{3x\times 9x}{2}-5\times \frac{3\times 3x}{2}$$

Kerro 3 ja 3, niin saadaan 9.

$$68-8x<\frac{3x\times 9x}{2}-5\times \frac{9x}{2}$$

Ilmaise -5\times \frac{9x}{2} säännöllisenä murtolukuna.

$$68-8x<\frac{3x\times 9x}{2}+\frac{-5\times 9x}{2}$$

Koska arvoilla \frac{3x\times 9x}{2} ja \frac{-5\times 9x}{2} on sama nimittäjä, laske ne yhteen laskemalla niiden osoittajat yhteen.

$$68-8x<\frac{3x\times 9x-5\times 9x}{2}$$

Suorita kertolaskut kohteessa 3x\times 9x-5\times 9x.

$$68-8x<\frac{27x^{2}-45x}{2}$$

Jaa jokainen yhtälön 27x^{2}-45x termi luvulla 2, ja saat tulokseksi \frac{27}{2}x^{2}-\frac{45}{2}x.

$$68-8x<\frac{27}{2}x^{2}-\frac{45}{2}x$$

Vähennä \frac{27}{2}x^{2} molemmilta puolilta.

$$68-8x-\frac{27}{2}x^{2}<-\frac{45}{2}x$$

Lisää \frac{45}{2}x molemmille puolille.

$$68-8x-\frac{27}{2}x^{2}+\frac{45}{2}x<0$$

Selvitä \frac{29}{2}x yhdistämällä -8x ja \frac{45}{2}x.

$$68+\frac{29}{2}x-\frac{27}{2}x^{2}<0$$

Kerro epäyhtälö arvolla -1, jolloin yhtälön 68+\frac{29}{2}x-\frac{27}{2}x^{2} korkeimman eksponentin kerroin on positiivinen. Koska -1 on negatiivinen, epäyhtälö suunta muuttuu.

$$-68-\frac{29}{2}x+\frac{27}{2}x^{2}>0$$

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$-68-\frac{29}{2}x+\frac{27}{2}x^{2}=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan \frac{27}{2} tilalle a, muuttujan -\frac{29}{2} tilalle b ja muuttujan -68 tilalle c.

$$x=\frac{-\left(-\frac{29}{2}\right)±\sqrt{\left(-\frac{29}{2}\right)^{2}-4\times \frac{27}{2}\left(-68\right)}}{2\times \frac{27}{2}}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{\frac{29}{2}±\frac{1}{2}\sqrt{15529}}{27}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{\frac{29}{2}±\frac{1}{2}\sqrt{15529}}{27} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=\frac{\sqrt{15529}+29}{54} x=\frac{29-\sqrt{15529}}{54}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$\frac{27}{2}\left(x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54}\right)\left(x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54}\right)>0$$

Jotta tulo on positiivinen, arvojen x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54} ja x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54} on kummankin oltava joko negatiivisia tai positiivisia. Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54} ja x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54} ovat molemmat negatiivisia.

$$x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54}<0 x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54}<0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x<\frac{29-\sqrt{15529}}{54}.

$$x<\frac{29-\sqrt{15529}}{54}$$

Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54} ja x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54} ovat molemmat positiivisia.

$$x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54}>0 x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54}>0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x>\frac{\sqrt{15529}+29}{54}.

$$x>\frac{\sqrt{15529}+29}{54}$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x<\frac{29-\sqrt{15529}}{54}\text{; }x>\frac{\sqrt{15529}+29}{54}$$