Ratkaise frac{5-sqrt{7}}{5+sqrt{7}}+frac{5+sqrt{7}}{5-sqrt{7}}

$$\frac { 5 - \sqrt { 7 } } { 5 + \sqrt { 7 } } + \frac { 5 + \sqrt { 7 } } { 5 - \sqrt { 7 } }$$

Laske

$$\frac{32}{9}\approx 3,555555556$$

Lyhyen ratkaisun vaiheet

Muunna rationaaliluvuksi nimittäjä \frac{5-\sqrt{7}}{5+\sqrt{7}} kertomalla osoittaja ja nimittäjä 5-\sqrt{7}.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Tarkastele lauseketta \left(5+\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{5^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Korota 5 neliöön. Korota \sqrt{7} neliöön.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{25-7}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Vähennä 7 luvusta 25 saadaksesi tuloksen 18.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Kerro 5-\sqrt{7} ja 5-\sqrt{7}, niin saadaan \left(5-\sqrt{7}\right)^{2}.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)^{2}}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(5-\sqrt{7}\right)^{2} laajentamiseen.

$$\frac{25-10\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Luvun \sqrt{7} neliö on 7.

$$\frac{25-10\sqrt{7}+7}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Selvitä 32 laskemalla yhteen 25 ja 7.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Muunna rationaaliluvuksi nimittäjä \frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}} kertomalla osoittaja ja nimittäjä 5+\sqrt{7}.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}$$

Tarkastele lauseketta \left(5-\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{5^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}$$

Korota 5 neliöön. Korota \sqrt{7} neliöön.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{25-7}$$

Vähennä 7 luvusta 25 saadaksesi tuloksen 18.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{18}$$

Kerro 5+\sqrt{7} ja 5+\sqrt{7}, niin saadaan \left(5+\sqrt{7}\right)^{2}.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)^{2}}{18}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(5+\sqrt{7}\right)^{2} laajentamiseen.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{25+10\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{18}$$

Luvun \sqrt{7} neliö on 7.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{25+10\sqrt{7}+7}{18}$$

Selvitä 32 laskemalla yhteen 25 ja 7.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{32+10\sqrt{7}}{18}$$

Koska arvoilla \frac{32-10\sqrt{7}}{18} ja \frac{32+10\sqrt{7}}{18} on sama nimittäjä, laske ne yhteen laskemalla niiden osoittajat yhteen.

$$\frac{32-10\sqrt{7}+32+10\sqrt{7}}{18}$$

Suorita yhtälön 32-10\sqrt{7}+32+10\sqrt{7} laskutoimitukset.

$$\frac{64}{18}$$

Supista murtoluku \frac{64}{18} luvulla 2.

$$\frac{32}{9}$$

Jaa tekijöihin

$$\frac{2 ^ {5}}{3 ^ {2}} = 3\frac{5}{9} = 3,5555555555555554$$