Ratkaise 5/x-3-x-1/x-2=7

$$\frac { 5 } { x - 3 } - \frac { x - 1 } { x - 2 } = 7$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{11} + 11}{4} \approx 3,579156198$$

$$x = \frac{11 - \sqrt{11}}{4} \approx 1,920843802$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista 2,3, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-3\right)\left(x-2\right), joka on lukujen x-3,x-2 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Laske lukujen x-2 ja 5 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Laske lukujen x-3 ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen x^{2}-4x+3 vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Selvitä 9x yhdistämällä 5x ja 4x.

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Vähennä 3 luvusta -10 saadaksesi tuloksen -13.

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Laske lukujen 7 ja x-3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

Laske lukujen 7x-21 ja x-2 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

Vähennä 7x^{2} molemmilta puolilta.

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

Selvitä -8x^{2} yhdistämällä -x^{2} ja -7x^{2}.

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

Lisää 35x molemmille puolille.

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

Selvitä 44x yhdistämällä 9x ja 35x.

$$44x-13-8x^{2}=42$$

Vähennä 42 molemmilta puolilta.

$$44x-13-8x^{2}-42=0$$

Vähennä 42 luvusta -13 saadaksesi tuloksen -55.

$$44x-55-8x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-8x^{2}+44x-55=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -8, b luvulla 44 ja c luvulla -55 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-44±\sqrt{44^{2}-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Korota 44 neliöön.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Kerro -4 ja -8.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936+32\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Kerro 32 ja -55.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-1760}}{2\left(-8\right)}$$

Lisää 1936 lukuun -1760.

$$x=\frac{-44±\sqrt{176}}{2\left(-8\right)}$$

Ota luvun 176 neliöjuuri.

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{2\left(-8\right)}$$

Kerro 2 ja -8.

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -44 lukuun 4\sqrt{11}.

$$x=\frac{4\sqrt{11}-44}{-16}$$

Jaa -44+4\sqrt{11} luvulla -16.

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{11} luvusta -44.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}-44}{-16}$$

Jaa -44-4\sqrt{11} luvulla -16.

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4} x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista 2,3, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-3\right)\left(x-2\right), joka on lukujen x-3,x-2 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Laske lukujen x-2 ja 5 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Laske lukujen x-3 ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen x^{2}-4x+3 vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Selvitä 9x yhdistämällä 5x ja 4x.

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Vähennä 3 luvusta -10 saadaksesi tuloksen -13.

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Laske lukujen 7 ja x-3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

Laske lukujen 7x-21 ja x-2 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

Vähennä 7x^{2} molemmilta puolilta.

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

Selvitä -8x^{2} yhdistämällä -x^{2} ja -7x^{2}.

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

Lisää 35x molemmille puolille.

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

Selvitä 44x yhdistämällä 9x ja 35x.

$$44x-13-8x^{2}=42$$

Lisää 13 molemmille puolille.

$$44x-8x^{2}=42+13$$

Selvitä 55 laskemalla yhteen 42 ja 13.

$$44x-8x^{2}=55$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-8x^{2}+44x=55$$

Jaa molemmat puolet luvulla -8.

$$\frac{-8x^{2}+44x}{-8}=\frac{55}{-8}$$

Jakaminen luvulla -8 kumoaa kertomisen luvulla -8.

$$x^{2}+\frac{44}{-8}x=\frac{55}{-8}$$

Supista murtoluku \frac{44}{-8} luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{55}{-8}$$

Jaa 55 luvulla -8.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{55}{8}$$

Jaa -\frac{11}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{11}{4}. Lisää sitten -\frac{11}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{55}{8}+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{11}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{55}{8}+\frac{121}{16}$$

Lisää -\frac{55}{8} lukuun \frac{121}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{11}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{11}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{11}}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{11}}{4}$$

Lisää \frac{11}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4} x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$