Ratkaise 5/x-3/2=x/5

$$\frac { 5 } { x } - \frac { 3 } { 2 } = \frac { x } { 5 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

$$x=-10$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 10x, joka on lukujen x,2,5 pienin yhteinen jaettava.

$$10\times 5+10x\left(-\frac{3}{2}\right)=2xx$$

Kerro 10 ja 5, niin saadaan 50.

$$50+10x\left(-\frac{3}{2}\right)=2xx$$

Ilmaise 10\left(-\frac{3}{2}\right) säännöllisenä murtolukuna.

$$50+\frac{10\left(-3\right)}{2}x=2xx$$

Kerro 10 ja -3, niin saadaan -30.

$$50+\frac{-30}{2}x=2xx$$

Jaa -30 luvulla 2, jolloin ratkaisuksi tulee -15.

$$50-15x=2xx$$

Kerro x ja x, niin saadaan x^{2}.

$$50-15x=2x^{2}$$

Vähennä 2x^{2} molemmilta puolilta.

$$50-15x-2x^{2}=0$$

Järjestä polynomi perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$-2x^{2}-15x+50=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon -2x^{2}+ax+bx+50. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-15 ab=-2\times 50=-100$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin positiivinen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -100.

$$1,-100 2,-50 4,-25 5,-20 10,-10$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-100=-99 2-50=-48 4-25=-21 5-20=-15 10-10=0$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -15.

$$a=5 b=-20$$

Kirjoita \left(-2x^{2}+5x\right)+\left(-20x+50\right) uudelleen muodossa -2x^{2}-15x+50.

$$\left(-2x^{2}+5x\right)+\left(-20x+50\right)$$

Ota -x tekijäksi ensimmäisessä ja -10 toisessa ryhmässä.

$$-x\left(2x-5\right)-10\left(2x-5\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi 2x-5 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(2x-5\right)\left(-x-10\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt 2x-5=0 ja -x-10=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-10$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 10x, joka on lukujen x,2,5 pienin yhteinen jaettava.

$$10\times 5+10x\left(-\frac{3}{2}\right)=2xx$$

Kerro 10 ja 5, niin saadaan 50.

$$50+10x\left(-\frac{3}{2}\right)=2xx$$

Ilmaise 10\left(-\frac{3}{2}\right) säännöllisenä murtolukuna.

$$50+\frac{10\left(-3\right)}{2}x=2xx$$

Kerro 10 ja -3, niin saadaan -30.

$$50+\frac{-30}{2}x=2xx$$

Jaa -30 luvulla 2, jolloin ratkaisuksi tulee -15.

$$50-15x=2xx$$

Kerro x ja x, niin saadaan x^{2}.

$$50-15x=2x^{2}$$

Vähennä 2x^{2} molemmilta puolilta.

$$50-15x-2x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-2x^{2}-15x+50=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -2, b luvulla -15 ja c luvulla 50 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-2\right)\times 50}}{2\left(-2\right)}$$

Korota -15 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-2\right)\times 50}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro -4 ja -2.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+8\times 50}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 8 ja 50.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+400}}{2\left(-2\right)}$$

Lisää 225 lukuun 400.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{625}}{2\left(-2\right)}$$

Ota luvun 625 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±25}{2\left(-2\right)}$$

Luvun -15 vastaluku on 15.

$$x=\frac{15±25}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 2 ja -2.

$$x=\frac{15±25}{-4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{15±25}{-4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 15 lukuun 25.

$$x=\frac{40}{-4}$$

Jaa 40 luvulla -4.

$$x=-10$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{15±25}{-4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 25 luvusta 15.

$$x=-\frac{10}{-4}$$

Supista murtoluku \frac{-10}{-4} luvulla 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-10 x=\frac{5}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 10x, joka on lukujen x,2,5 pienin yhteinen jaettava.

$$10\times 5+10x\left(-\frac{3}{2}\right)=2xx$$

Kerro 10 ja 5, niin saadaan 50.

$$50+10x\left(-\frac{3}{2}\right)=2xx$$

Ilmaise 10\left(-\frac{3}{2}\right) säännöllisenä murtolukuna.

$$50+\frac{10\left(-3\right)}{2}x=2xx$$

Kerro 10 ja -3, niin saadaan -30.

$$50+\frac{-30}{2}x=2xx$$

Jaa -30 luvulla 2, jolloin ratkaisuksi tulee -15.

$$50-15x=2xx$$

Kerro x ja x, niin saadaan x^{2}.

$$50-15x=2x^{2}$$

Vähennä 2x^{2} molemmilta puolilta.

$$50-15x-2x^{2}=0$$

Vähennä 50 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$-15x-2x^{2}=-50$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}-15x=-50$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2.

$$\frac{-2x^{2}-15x}{-2}=-\frac{50}{-2}$$

Jakaminen luvulla -2 kumoaa kertomisen luvulla -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-2}\right)x=-\frac{50}{-2}$$

Jaa -15 luvulla -2.

$$x^{2}+\frac{15}{2}x=-\frac{50}{-2}$$

Jaa -50 luvulla -2.

$$x^{2}+\frac{15}{2}x=25$$

Jaa \frac{15}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{15}{4}. Lisää sitten \frac{15}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{15}{2}x+\left(\frac{15}{4}\right)^{2}=25+\left(\frac{15}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{15}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=25+\frac{225}{16}$$

Lisää 25 lukuun \frac{225}{16}.

$$x^{2}+\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{625}{16}$$

Jaa x^{2}+\frac{15}{2}x+\frac{225}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{625}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{16}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{15}{4}=\frac{25}{4} x+\frac{15}{4}=-\frac{25}{4}$$

Vähennä \frac{15}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{5}{2} x=-10$$