Ratkaise 5/5+x+5/6+x=1/2

$$\frac { 5 } { 5 + x } + \frac { 5 } { 6 + x } = \frac { 1 } { 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{401} + 9}{2} \approx 14,512492197$$

$$x=\frac{9-\sqrt{401}}{2}\approx -5,512492197$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -6,-5, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 2\left(x+5\right)\left(x+6\right), joka on lukujen 5+x,6+x,2 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(2x+12\right)\times 5+\left(2x+10\right)\times 5=\left(x+5\right)\left(x+6\right)$$

Laske lukujen 2x+12 ja 5 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$10x+60+\left(2x+10\right)\times 5=\left(x+5\right)\left(x+6\right)$$

Laske lukujen 2x+10 ja 5 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$10x+60+10x+50=\left(x+5\right)\left(x+6\right)$$

Selvitä 20x yhdistämällä 10x ja 10x.

$$20x+60+50=\left(x+5\right)\left(x+6\right)$$

Selvitä 110 laskemalla yhteen 60 ja 50.

$$20x+110=\left(x+5\right)\left(x+6\right)$$

Laske lukujen x+5 ja x+6 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$20x+110=x^{2}+11x+30$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$20x+110-x^{2}=11x+30$$

Vähennä 11x molemmilta puolilta.

$$20x+110-x^{2}-11x=30$$

Selvitä 9x yhdistämällä 20x ja -11x.

$$9x+110-x^{2}=30$$

Vähennä 30 molemmilta puolilta.

$$9x+110-x^{2}-30=0$$

Vähennä 30 luvusta 110 saadaksesi tuloksen 80.

$$9x+80-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+9x+80=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 9 ja c luvulla 80 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-1\right)\times 80}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 9 neliöön.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-1\right)\times 80}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+4\times 80}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja 80.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+320}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 81 lukuun 320.

$$x=\frac{-9±\sqrt{401}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{401}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±\sqrt{401}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -9 lukuun \sqrt{401}.

$$x=\frac{\sqrt{401}-9}{-2}$$

Jaa -9+\sqrt{401} luvulla -2.

$$x=\frac{9-\sqrt{401}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±\sqrt{401}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{401} luvusta -9.

$$x=\frac{-\sqrt{401}-9}{-2}$$

Jaa -9-\sqrt{401} luvulla -2.

$$x=\frac{\sqrt{401}+9}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{9-\sqrt{401}}{2} x=\frac{\sqrt{401}+9}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -6,-5, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 2\left(x+5\right)\left(x+6\right), joka on lukujen 5+x,6+x,2 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(2x+12\right)\times 5+\left(2x+10\right)\times 5=\left(x+5\right)\left(x+6\right)$$

Laske lukujen 2x+12 ja 5 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$10x+60+\left(2x+10\right)\times 5=\left(x+5\right)\left(x+6\right)$$

Laske lukujen 2x+10 ja 5 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$10x+60+10x+50=\left(x+5\right)\left(x+6\right)$$

Selvitä 20x yhdistämällä 10x ja 10x.

$$20x+60+50=\left(x+5\right)\left(x+6\right)$$

Selvitä 110 laskemalla yhteen 60 ja 50.

$$20x+110=\left(x+5\right)\left(x+6\right)$$

Laske lukujen x+5 ja x+6 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$20x+110=x^{2}+11x+30$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$20x+110-x^{2}=11x+30$$

Vähennä 11x molemmilta puolilta.

$$20x+110-x^{2}-11x=30$$

Selvitä 9x yhdistämällä 20x ja -11x.

$$9x+110-x^{2}=30$$

Vähennä 110 molemmilta puolilta.

$$9x-x^{2}=30-110$$

Vähennä 110 luvusta 30 saadaksesi tuloksen -80.

$$9x-x^{2}=-80$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+9x=-80$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+9x}{-1}=-\frac{80}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{9}{-1}x=-\frac{80}{-1}$$

Jaa 9 luvulla -1.

$$x^{2}-9x=-\frac{80}{-1}$$

Jaa -80 luvulla -1.

$$x^{2}-9x=80$$

Jaa -9 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{2}. Lisää sitten -\frac{9}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=80+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=80+\frac{81}{4}$$

Lisää 80 lukuun \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{401}{4}$$

Jaa x^{2}-9x+\frac{81}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{401}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{401}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{\sqrt{401}}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{\sqrt{401}}{2}$$

Lisää \frac{9}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{401}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{401}}{2}$$