Ratkaise 5+i/1-i

$$\frac { 5 + i } { 1 - i }$$

Laske

$$2+3i$$

Ratkaisun vaiheet

Kerro sekä osoittaja että nimittäjä nimittäjän kompleksikonjugaatilla 1+i.

$$\frac{\left(5+i\right)\left(1+i\right)}{\left(1-i\right)\left(1+i\right)}$$

Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(5+i\right)\left(1+i\right)}{1^{2}-i^{2}}$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1. Laske nimittäjä.

$$\frac{\left(5+i\right)\left(1+i\right)}{2}$$

Kerro kompleksiluvut 5+i ja 1+i keskenään samaan tapaan kuin binomit.

$$\frac{5\times 1+5i+i+i^{2}}{2}$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1.

$$\frac{5\times 1+5i+i-1}{2}$$

Suorita kertolaskut kohteessa 5\times 1+5i+i-1.

$$\frac{5+5i+i-1}{2}$$

Yhdistä lukujen 5+5i+i-1 reaali- ja imaginaariosat.

$$\frac{5-1+\left(5+1\right)i}{2}$$

Suorita yhteenlaskut kohteessa 5-1+\left(5+1\right)i.

$$\frac{4+6i}{2}$$

Jaa 4+6i luvulla 2, jolloin ratkaisuksi tulee 2+3i.

$$2+3i$$

Reaaliosa

$$2$$

Ratkaisun vaiheet

Kerro sekä luvun \frac{5+i}{1-i} osoittaja että sen nimittäjä nimittäjän kompleksikonjugaatilla 1+i.

$$Re(\frac{\left(5+i\right)\left(1+i\right)}{\left(1-i\right)\left(1+i\right)})$$

Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$Re(\frac{\left(5+i\right)\left(1+i\right)}{1^{2}-i^{2}})$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1. Laske nimittäjä.

$$Re(\frac{\left(5+i\right)\left(1+i\right)}{2})$$

Kerro kompleksiluvut 5+i ja 1+i keskenään samaan tapaan kuin binomit.

$$Re(\frac{5\times 1+5i+i+i^{2}}{2})$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1.

$$Re(\frac{5\times 1+5i+i-1}{2})$$

Suorita kertolaskut kohteessa 5\times 1+5i+i-1.

$$Re(\frac{5+5i+i-1}{2})$$

Yhdistä lukujen 5+5i+i-1 reaali- ja imaginaariosat.

$$Re(\frac{5-1+\left(5+1\right)i}{2})$$

Suorita yhteenlaskut kohteessa 5-1+\left(5+1\right)i.

$$Re(\frac{4+6i}{2})$$

Jaa 4+6i luvulla 2, jolloin ratkaisuksi tulee 2+3i.

$$Re(2+3i)$$

Luvun 2+3i reaaliosa on 2.

$$2$$