Ratkaise 4/x-3+2/x=1

$$\frac { 4 } { x - 3 } + \frac { 2 } { x } = 1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{57} + 9}{2} \approx 8,274917218$$

$$x=\frac{9-\sqrt{57}}{2}\approx 0,725082782$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista 0,3, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x\left(x-3\right), joka on lukujen x-3,x pienin yhteinen jaettava.

$$x\times 4+\left(x-3\right)\times 2=x\left(x-3\right)$$

Laske lukujen x-3 ja 2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x\times 4+2x-6=x\left(x-3\right)$$

Selvitä 6x yhdistämällä x\times 4 ja 2x.

$$6x-6=x\left(x-3\right)$$

Laske lukujen x ja x-3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$6x-6=x^{2}-3x$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$6x-6-x^{2}=-3x$$

Lisää 3x molemmille puolille.

$$6x-6-x^{2}+3x=0$$

Selvitä 9x yhdistämällä 6x ja 3x.

$$9x-6-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+9x-6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 9 ja c luvulla -6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-1\right)\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 9 neliöön.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-1\right)\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+4\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -6.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-24}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 81 lukuun -24.

$$x=\frac{-9±\sqrt{57}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{57}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±\sqrt{57}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -9 lukuun \sqrt{57}.

$$x=\frac{\sqrt{57}-9}{-2}$$

Jaa -9+\sqrt{57} luvulla -2.

$$x=\frac{9-\sqrt{57}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±\sqrt{57}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{57} luvusta -9.

$$x=\frac{-\sqrt{57}-9}{-2}$$

Jaa -9-\sqrt{57} luvulla -2.

$$x=\frac{\sqrt{57}+9}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{9-\sqrt{57}}{2} x=\frac{\sqrt{57}+9}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista 0,3, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x\left(x-3\right), joka on lukujen x-3,x pienin yhteinen jaettava.

$$x\times 4+\left(x-3\right)\times 2=x\left(x-3\right)$$

Laske lukujen x-3 ja 2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x\times 4+2x-6=x\left(x-3\right)$$

Selvitä 6x yhdistämällä x\times 4 ja 2x.

$$6x-6=x\left(x-3\right)$$

Laske lukujen x ja x-3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$6x-6=x^{2}-3x$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$6x-6-x^{2}=-3x$$

Lisää 3x molemmille puolille.

$$6x-6-x^{2}+3x=0$$

Selvitä 9x yhdistämällä 6x ja 3x.

$$9x-6-x^{2}=0$$

Lisää 6 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$9x-x^{2}=6$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+9x=6$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+9x}{-1}=\frac{6}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{9}{-1}x=\frac{6}{-1}$$

Jaa 9 luvulla -1.

$$x^{2}-9x=\frac{6}{-1}$$

Jaa 6 luvulla -1.

$$x^{2}-9x=-6$$

Jaa -9 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{2}. Lisää sitten -\frac{9}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=-6+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=-6+\frac{81}{4}$$

Lisää -6 lukuun \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{57}{4}$$

Jaa x^{2}-9x+\frac{81}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{57}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{57}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{\sqrt{57}}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{\sqrt{57}}{2}$$

Lisää \frac{9}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{57}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{57}}{2}$$