Ratkaise 4/x-1+2/x+1=35

$$\frac { 4 } { x - 1 } + \frac { 2 } { x + 1 } = 35$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{2 \sqrt{326} + 3}{35} \approx 1,117455433$$

$$x=\frac{3-2\sqrt{326}}{35}\approx -0,946026862$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -1,1, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-1\right)\left(x+1\right), joka on lukujen x-1,x+1 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x+1\right)\times 4+\left(x-1\right)\times 2=35\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x+1 ja 4 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x+4+\left(x-1\right)\times 2=35\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x-1 ja 2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x+4+2x-2=35\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Selvitä 6x yhdistämällä 4x ja 2x.

$$6x+4-2=35\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Vähennä 2 luvusta 4 saadaksesi tuloksen 2.

$$6x+2=35\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen 35 ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$6x+2=\left(35x-35\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen 35x-35 ja x+1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$6x+2=35x^{2}-35$$

Vähennä 35x^{2} molemmilta puolilta.

$$6x+2-35x^{2}=-35$$

Lisää 35 molemmille puolille.

$$6x+2-35x^{2}+35=0$$

Selvitä 37 laskemalla yhteen 2 ja 35.

$$6x+37-35x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-35x^{2}+6x+37=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -35, b luvulla 6 ja c luvulla 37 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-35\right)\times 37}}{2\left(-35\right)}$$

Korota 6 neliöön.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-35\right)\times 37}}{2\left(-35\right)}$$

Kerro -4 ja -35.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+140\times 37}}{2\left(-35\right)}$$

Kerro 140 ja 37.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+5180}}{2\left(-35\right)}$$

Lisää 36 lukuun 5180.

$$x=\frac{-6±\sqrt{5216}}{2\left(-35\right)}$$

Ota luvun 5216 neliöjuuri.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{326}}{2\left(-35\right)}$$

Kerro 2 ja -35.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{326}}{-70}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±4\sqrt{326}}{-70}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6 lukuun 4\sqrt{326}.

$$x=\frac{4\sqrt{326}-6}{-70}$$

Jaa -6+4\sqrt{326} luvulla -70.

$$x=\frac{3-2\sqrt{326}}{35}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±4\sqrt{326}}{-70}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{326} luvusta -6.

$$x=\frac{-4\sqrt{326}-6}{-70}$$

Jaa -6-4\sqrt{326} luvulla -70.

$$x=\frac{2\sqrt{326}+3}{35}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3-2\sqrt{326}}{35} x=\frac{2\sqrt{326}+3}{35}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -1,1, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-1\right)\left(x+1\right), joka on lukujen x-1,x+1 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x+1\right)\times 4+\left(x-1\right)\times 2=35\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x+1 ja 4 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x+4+\left(x-1\right)\times 2=35\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x-1 ja 2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x+4+2x-2=35\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Selvitä 6x yhdistämällä 4x ja 2x.

$$6x+4-2=35\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Vähennä 2 luvusta 4 saadaksesi tuloksen 2.

$$6x+2=35\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen 35 ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$6x+2=\left(35x-35\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen 35x-35 ja x+1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$6x+2=35x^{2}-35$$

Vähennä 35x^{2} molemmilta puolilta.

$$6x+2-35x^{2}=-35$$

Vähennä 2 molemmilta puolilta.

$$6x-35x^{2}=-35-2$$

Vähennä 2 luvusta -35 saadaksesi tuloksen -37.

$$6x-35x^{2}=-37$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-35x^{2}+6x=-37$$

Jaa molemmat puolet luvulla -35.

$$\frac{-35x^{2}+6x}{-35}=-\frac{37}{-35}$$

Jakaminen luvulla -35 kumoaa kertomisen luvulla -35.

$$x^{2}+\frac{6}{-35}x=-\frac{37}{-35}$$

Jaa 6 luvulla -35.

$$x^{2}-\frac{6}{35}x=-\frac{37}{-35}$$

Jaa -37 luvulla -35.

$$x^{2}-\frac{6}{35}x=\frac{37}{35}$$

Jaa -\frac{6}{35} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{35}. Lisää sitten -\frac{3}{35}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{6}{35}x+\left(-\frac{3}{35}\right)^{2}=\frac{37}{35}+\left(-\frac{3}{35}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{35} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{6}{35}x+\frac{9}{1225}=\frac{37}{35}+\frac{9}{1225}$$

Lisää \frac{37}{35} lukuun \frac{9}{1225} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{6}{35}x+\frac{9}{1225}=\frac{1304}{1225}$$

Jaa x^{2}-\frac{6}{35}x+\frac{9}{1225} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{35}\right)^{2}=\frac{1304}{1225}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{35}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1304}{1225}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{35}=\frac{2\sqrt{326}}{35} x-\frac{3}{35}=-\frac{2\sqrt{326}}{35}$$

Lisää \frac{3}{35} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{2\sqrt{326}+3}{35} x=\frac{3-2\sqrt{326}}{35}$$