Ratkaise 4/x-1+2/x+1=3

$$\frac { 4 } { x - 1 } + \frac { 2 } { x + 1 } = 3$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{2\sqrt{6}}{3}+1\approx 2,632993162$$

$$x=-\frac{2\sqrt{6}}{3}+1\approx -0,632993162$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -1,1, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-1\right)\left(x+1\right), joka on lukujen x-1,x+1 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x+1\right)\times 4+\left(x-1\right)\times 2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x+1 ja 4 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x+4+\left(x-1\right)\times 2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x-1 ja 2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x+4+2x-2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Selvitä 6x yhdistämällä 4x ja 2x.

$$6x+4-2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Vähennä 2 luvusta 4 saadaksesi tuloksen 2.

$$6x+2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen 3 ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$6x+2=\left(3x-3\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen 3x-3 ja x+1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$6x+2=3x^{2}-3$$

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$6x+2-3x^{2}=-3$$

Lisää 3 molemmille puolille.

$$6x+2-3x^{2}+3=0$$

Selvitä 5 laskemalla yhteen 2 ja 3.

$$6x+5-3x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-3x^{2}+6x+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -3, b luvulla 6 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-3\right)\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Korota 6 neliöön.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-3\right)\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro -4 ja -3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+12\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 12 ja 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+60}}{2\left(-3\right)}$$

Lisää 36 lukuun 60.

$$x=\frac{-6±\sqrt{96}}{2\left(-3\right)}$$

Ota luvun 96 neliöjuuri.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{6}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 2 ja -3.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{6}}{-6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±4\sqrt{6}}{-6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6 lukuun 4\sqrt{6}.

$$x=\frac{4\sqrt{6}-6}{-6}$$

Jaa -6+4\sqrt{6} luvulla -6.

$$x=-\frac{2\sqrt{6}}{3}+1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±4\sqrt{6}}{-6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{6} luvusta -6.

$$x=\frac{-4\sqrt{6}-6}{-6}$$

Jaa -6-4\sqrt{6} luvulla -6.

$$x=\frac{2\sqrt{6}}{3}+1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{2\sqrt{6}}{3}+1 x=\frac{2\sqrt{6}}{3}+1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -1,1, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-1\right)\left(x+1\right), joka on lukujen x-1,x+1 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x+1\right)\times 4+\left(x-1\right)\times 2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x+1 ja 4 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x+4+\left(x-1\right)\times 2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x-1 ja 2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x+4+2x-2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Selvitä 6x yhdistämällä 4x ja 2x.

$$6x+4-2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Vähennä 2 luvusta 4 saadaksesi tuloksen 2.

$$6x+2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen 3 ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$6x+2=\left(3x-3\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen 3x-3 ja x+1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$6x+2=3x^{2}-3$$

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$6x+2-3x^{2}=-3$$

Vähennä 2 molemmilta puolilta.

$$6x-3x^{2}=-3-2$$

Vähennä 2 luvusta -3 saadaksesi tuloksen -5.

$$6x-3x^{2}=-5$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+6x=-5$$

Jaa molemmat puolet luvulla -3.

$$\frac{-3x^{2}+6x}{-3}=-\frac{5}{-3}$$

Jakaminen luvulla -3 kumoaa kertomisen luvulla -3.

$$x^{2}+\frac{6}{-3}x=-\frac{5}{-3}$$

Jaa 6 luvulla -3.

$$x^{2}-2x=-\frac{5}{-3}$$

Jaa -5 luvulla -3.

$$x^{2}-2x=\frac{5}{3}$$

Jaa -2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -1. Lisää sitten -1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-2x+1=\frac{5}{3}+1$$

Lisää \frac{5}{3} lukuun 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{8}{3}$$

Jaa x^{2}-2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{8}{3}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8}{3}}$$

Sievennä.

$$x-1=\frac{2\sqrt{6}}{3} x-1=-\frac{2\sqrt{6}}{3}$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{2\sqrt{6}}{3}+1 x=-\frac{2\sqrt{6}}{3}+1$$