Ratkaise 4/x+4/x-6=1

$$\frac { 4 } { x } + \frac { 4 } { x - 6 } = 1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=2$$

$$x=12$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista 0,6, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x\left(x-6\right), joka on lukujen x,x-6 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Laske lukujen x-6 ja 4 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Selvitä 8x yhdistämällä 4x ja x\times 4.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Laske lukujen x ja x-6 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Lisää 6x molemmille puolille.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Selvitä 14x yhdistämällä 8x ja 6x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Järjestä polynomi perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon -x^{2}+ax+bx-24. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=14 ab=-\left(-24\right)=24$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on myönteinen, a ja b ovat molemmat myönteisiä. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 14.

$$a=12 b=2$$

Kirjoita \left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right) uudelleen muodossa -x^{2}+14x-24.

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right)$$

Ota -x tekijäksi ensimmäisessä ja 2 toisessa ryhmässä.

$$-x\left(x-12\right)+2\left(x-12\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-12 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-12\right)\left(-x+2\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-12=0 ja -x+2=0.

$$x=12 x=2$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista 0,6, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x\left(x-6\right), joka on lukujen x,x-6 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Laske lukujen x-6 ja 4 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Selvitä 8x yhdistämällä 4x ja x\times 4.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Laske lukujen x ja x-6 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Lisää 6x molemmille puolille.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Selvitä 14x yhdistämällä 8x ja 6x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 14 ja c luvulla -24 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 14 neliöön.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+4\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-96}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 196 lukuun -96.

$$x=\frac{-14±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 100 neliöjuuri.

$$x=\frac{-14±10}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-14±10}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-14±10}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -14 lukuun 10.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Jaa -4 luvulla -2.

$$x=2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-14±10}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 10 luvusta -14.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Jaa -24 luvulla -2.

$$x=12$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=2 x=12$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista 0,6, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x\left(x-6\right), joka on lukujen x,x-6 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Laske lukujen x-6 ja 4 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Selvitä 8x yhdistämällä 4x ja x\times 4.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Laske lukujen x ja x-6 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Lisää 6x molemmille puolille.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Selvitä 14x yhdistämällä 8x ja 6x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Lisää 24 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$14x-x^{2}=24$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+14x=24$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+14x}{-1}=\frac{24}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{14}{-1}x=\frac{24}{-1}$$

Jaa 14 luvulla -1.

$$x^{2}-14x=\frac{24}{-1}$$

Jaa 24 luvulla -1.

$$x^{2}-14x=-24$$

Jaa -14 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -7. Lisää sitten -7:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-24+\left(-7\right)^{2}$$

Korota -7 neliöön.

$$x^{2}-14x+49=-24+49$$

Lisää -24 lukuun 49.

$$x^{2}-14x+49=25$$

Jaa x^{2}-14x+49 tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=25$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Sievennä.

$$x-7=5 x-7=-5$$

Lisää 7 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=12 x=2$$