Ratkaise 3x-7/x+5=x-3/x+2

$$\frac { 3 x - 7 } { x + 5 } = \frac { x - 3 } { x + 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=1$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -5,-2, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x+2\right)\left(x+5\right), joka on lukujen x+5,x+2 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x+2\right)\left(3x-7\right)=\left(x+5\right)\left(x-3\right)$$

Laske lukujen x+2 ja 3x-7 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$3x^{2}-x-14=\left(x+5\right)\left(x-3\right)$$

Laske lukujen x+5 ja x-3 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$3x^{2}-x-14=x^{2}+2x-15$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-x-14-x^{2}=2x-15$$

Selvitä 2x^{2} yhdistämällä 3x^{2} ja -x^{2}.

$$2x^{2}-x-14=2x-15$$

Vähennä 2x molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-x-14-2x=-15$$

Selvitä -3x yhdistämällä -x ja -2x.

$$2x^{2}-3x-14=-15$$

Lisää 15 molemmille puolille.

$$2x^{2}-3x-14+15=0$$

Selvitä 1 laskemalla yhteen -14 ja 15.

$$2x^{2}-3x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -3 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

Korota -3 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8}}{2\times 2}$$

Lisää 9 lukuun -8.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{1}}{2\times 2}$$

Ota luvun 1 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±1}{2\times 2}$$

Luvun -3 vastaluku on 3.

$$x=\frac{3±1}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{3±1}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±1}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 3 lukuun 1.

$$x=\frac{4}{4}$$

Jaa 4 luvulla 4.

$$x=1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±1}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 1 luvusta 3.

$$x=\frac{2}{4}$$

Supista murtoluku \frac{2}{4} luvulla 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=1 x=\frac{1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -5,-2, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x+2\right)\left(x+5\right), joka on lukujen x+5,x+2 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x+2\right)\left(3x-7\right)=\left(x+5\right)\left(x-3\right)$$

Laske lukujen x+2 ja 3x-7 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$3x^{2}-x-14=\left(x+5\right)\left(x-3\right)$$

Laske lukujen x+5 ja x-3 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$3x^{2}-x-14=x^{2}+2x-15$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-x-14-x^{2}=2x-15$$

Selvitä 2x^{2} yhdistämällä 3x^{2} ja -x^{2}.

$$2x^{2}-x-14=2x-15$$

Vähennä 2x molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-x-14-2x=-15$$

Selvitä -3x yhdistämällä -x ja -2x.

$$2x^{2}-3x-14=-15$$

Lisää 14 molemmille puolille.

$$2x^{2}-3x=-15+14$$

Selvitä -1 laskemalla yhteen -15 ja 14.

$$2x^{2}-3x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=-\frac{1}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{1}{2}$$

Jaa -\frac{3}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{4}. Lisää sitten -\frac{3}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$$

Lisää -\frac{1}{2} lukuun \frac{9}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{1}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}$$

Lisää \frac{3}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=1 x=\frac{1}{2}$$