Ratkaise 3x/2+y=11;x+y/2=7

$$\frac { 3 x } { 2 } + y = 11 ; x + \frac { y } { 2 } = 7$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x=6$$

$$y=2$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 2.

$$3x+2y=22$$

Tarkastele toista yhtälöä. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 2.

$$2x+y=14$$

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$3x+2y=22$$

Vähennä 2y yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x=-2y+22$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+22\right)$$

Kerro \frac{1}{3} ja -2y+22.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}$$

Korvaa x arvolla \frac{-2y+22}{3} toisessa yhtälössä, 2x+y=14.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}\right)+y=14$$

Kerro 2 ja \frac{-2y+22}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{44}{3}+y=14$$

Lisää -\frac{4y}{3} lukuun y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{44}{3}=14$$

Vähennä \frac{44}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Kerro molemmat puolet luvulla -3.

$$y=2$$

Korvaa y arvolla 2 yhtälössä x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{22}{3}$$

Kerro -\frac{2}{3} ja 2.

$$x=\frac{-4+22}{3}$$

Lisää \frac{22}{3} lukuun -\frac{4}{3} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=6$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=6,y=2$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 2.

$$3x+2y=22$$

Tarkastele toista yhtälöä. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 2.

$$2x+y=14$$

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{3}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22+2\times 14\\2\times 22-3\times 14\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=6,y=2$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 2.

$$3x+2y=22$$

Tarkastele toista yhtälöä. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 2.

$$2x+y=14$$

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Jos haluat saada luvut 3x ja 2x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 2 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 22,3\times 2x+3y=3\times 14$$

Sievennä.

$$6x+4y=44,6x+3y=42$$

Vähennä 6x+3y=42 lausekkeesta 6x+4y=44 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$6x-6x+4y-3y=44-42$$

Lisää 6x lukuun -6x. Termit 6x ja -6x kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$4y-3y=44-42$$

Lisää 4y lukuun -3y.

$$y=44-42$$

Lisää 44 lukuun -42.

$$y=2$$

Korvaa y arvolla 2 yhtälössä 2x+y=14. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$2x+2=14$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x=12$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$x=6$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=6,y=2$$